Sean los números complejos z1=4 cdot[cos (60^circ)+i sen(60^circ)], z2=3<210^circ y z3=a+b i
En z3, c alcula el valor de a y b para que se verifique: a-3 i=2+b i5-3 i.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a e b no número complexo z3 = a + bi de modo que se satisfaça a relação
a - 3i = 2 + bi5 - 3i
O conteúdo envolve manipulação de números complexos na forma algébrica e a técnica de racionalização de denominador usando o conjugado.

Passo 2

Para racionalizar o denominador de 2 + bi5 - 3i, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 5 - 3i, que é 5 + 3i. Assim, temos:
2 + bi5 - 3i = (2 + bi)(5 + 3i)(5 - 3i)(5 + 3i)

Passo 3

Agora expandimos o produto no numerador e calculamos o denominador real:
(2 + bi)(5 + 3i) = 10 + 6i + 5bi + 3b,i^2,
(5 - 3i)(5 + 3i) = 5^2 + 3^2 = 34

Passo 4

Como i^2 = -1, o numerador fica:
10 + 6i + 5bi + 3b(-1) = (10 - 3b) + i(6 + 5b)
Portanto
2 + bi5 - 3i = 10 - 3b34 + i,6 + 5b34

Passo 5

Comparando com a - 3i = a + i(-3), igualamos as partes real e imaginária:
a = 10 - 3b34,
-3 = 6 + 5b34
Da segunda equação, 6 + 5b = -102 leva a b = -tfrac1085. Substituindo em a = (10 - 3b)/34 obtemos a = tfrac115.

Resposta

a = \tfrac{11}{5}, \quad b = -\tfrac{108}{5}

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