Considere um sistema LIT de tempo contínuo com resposta ao impulso
h(t)=e^{-4|t|}
Encontre a representação em série de Fourier da saída y(t) para cada uma das seguintes entradas:
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^{n} \delta(t-n)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a resposta ao impulso do sistema LIT
h(t)=e^{-4|t|}.
  • Dado: a entrada
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^{n}\delta(t-n).
  • Pedido: encontrar a representação em série de Fourier de y(t), a saída do sistema quando a entrada é x(t).
Informações relevantes que vamos usar (sem ainda resolver):
  • x(t) é uma soma de deltas em inteiros, com sinais alternados (-1)^n.
  • h(t) é uma função decaindo exponencialmente com valor máximo em t=0.
  • A saída y(t) será a convolução y(t)=(h*x)(t) e, dado que x(t) é periódico, y(t) será periódico com o mesmo período (ou um divisor), então faz sentido representar y(t) por série de Fourier.

Passo 2

Observação sobre o período de x(t) (muito importante):
  • Calculo x(t+1):
x(t+1)=\sum_{n}(-1)^{n}\delta(t+1-n)=\sum_{m}(-1)^{m+1}\delta(t-m)=-x(t).
Logo x(t+1)=-x(t), então não é periódica com período 1 (muda de sinal).
  • Calculo x(t+2):
x(t+2)=\sum_{n}(-1)^{n}\delta(t+2-n)=\sum_{m}(-1)^{m+2}\delta(t-m)=x(t).
Portanto o período fundamental é T=2. Consequentemente a frequência angular fundamental é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\pi.

Passo 3

Método escolhido (explicação didática do porquê):
Quando uma sinal periódico x(t) com série de Fourier complexa
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k e^{jk\omega_0 t}
é aplicado a um sistema LIT com resposta em frequência H(j\omega), cada exponencial e^{jk\omega_0 t} é um autovetor do sistema e é multiplicada pelo ganho H(jk\omega_0). Assim a série de Fourier da saída é
y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}Y_k e^{jk\omega_0 t},\qquad Y_k=X_k\,H(jk\omega_0).
Essa propriedade é muito útil: basta achar os coeficientes X_k de x(t) e o H(j\omega) do sistema e multiplicar nos harmônicos.

Passo 4

Calcular a transformada em frequência (função de frequência) do sistema H(j\omega).
Queremos H(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j\omega t}\,dt com h(t)=e^{-4|t|}.
Dividimos em t<0 e t\ge0:
H(j\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{-4(-t)}e^{-j\omega t}\,dt+\int_{0}^{\infty}e^{-4t}e^{-j\omega t}\,dt.
Isso é
H(j\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{4t}e^{-j\omega t}\,dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(4+j\omega)t}\,dt.
Compute cada integral separadamente.
Para I_1=\int_{-\infty}^{0}e^{(4-j\omega)t}\,dt. Como \Re(4-j\omega)=4>0, temos
I_1=\left[ \frac{e^{(4-j\omega)t}}{4-j\omega} \right]_{t=-\infty}^{0}=\frac{1}{4-j\omega}.
Para I_2=\int_{0}^{\infty}e^{-(4+j\omega)t}\,dt. Como \Re(4+j\omega)=4>0,
I_2=\left[ \frac{-e^{-(4+j\omega)t}}{4+j\omega} \right]_{t=0}^{\infty}=\frac{1}{4+j\omega}.
Somando,
H(j\omega)=\frac{1}{4-j\omega}+\frac{1}{4+j\omega}=\frac{(4+j\omega)+(4-j\omega)}{(4-j\omega)(4+j\omega)}=\frac{8}{16+\omega^2}.
Portanto
H(j\omega)=\frac{8}{16+\omega^2}.
Pequena interpretação: H(j\omega) é real, par e decai com |\omega|, como era de esperar para um h(t) real e par.

Passo 5

Calcular os coeficientes de Fourier X_k de x(t).
Como o período é T=2 e \omega_0=\pi, os coeficientes complexos são
X_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)e^{-jk\omega_0 t}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x(t)e^{-jk\pi t}\,dt.
Dentro do intervalo [0,2) os deltas relevantes estão em t=0 (índice n=0, amplitude (-1)^0=1) e t=1 (índice n=1, amplitude (-1)^1=-1). Assim a integral vira soma dos valores nos dois deltas:
X_k=\frac{1}{2}\big(1\cdot e^{-jk\pi\cdot 0}+(-1)\cdot e^{-jk\pi\cdot 1}\big)=\frac{1}{2}\big(1-e^{-jk\pi}\big).
Mas e^{-jk\pi}=(-1)^k. Portanto
X_k=\frac{1}{2}\big(1-(-1)^k\big).
Isso dá a regra simples:
  • Se k é par, (-1)^k=1 então X_k=0.
  • Se k é ímpar, (-1)^k=-1 então X_k=1.
Resumo prático:
X_k=\begin{cases} 0, & k\\ \text{par},\\[4pt] 1, & k\\ \text{ímpar}. \end{cases}í]

Passo 6

Calcular os coeficientes da saída Y_k usando Y_k=X_k\,H(jk\omega_0).
Já temos H(j\omega)=\dfrac{8}{16+\omega^2} e \omega_0=\pi. Então em \omega= k\omega_0 = k\pi temos
H(jk\omega_0)=H(jk\pi)=\frac{8}{16+(k\pi)^2}.
Portanto
Y_k=X_k\cdot\frac{8}{16+(k\pi)^2}.
Como X_k é zero para k par e 1 para k ímpar, obtemos explicitamente
Y_k=\begin{cases} 0, & k\\ \text{par},\\[6pt] \dfrac{8}{16+(k\pi)^2}, & k\\ \text{ímpar}. \end{cases}í]

Passo 7

Escrever a série de Fourier complexa da saída y(t).
A representação complexa (somando todos os k) é
y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} Y_k e^{jk\pi t} =\sum_{\substack{k=-\infty\\\ k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{8}{16+(k\pi)^2}\,e^{jk\pi t}.í
Uma forma mais prática é reindexar pelos inteiros m definindo k=2m+1 (varrendo todos os ímpares). Assim
y(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{8}{16+\big((2m+1)\pi\big)^2}\;e^{j(2m+1)\pi t}.

Passo 8

Opcional (forma real-cosseno), útil para visualizar que y(t) é real e par:
  • Os coeficientes Y_k são reais e Y_{-k}=Y_k, então a soma das exponenciais pares resulta em termo em cosseno.
  • Agrupando termos k e -k obtemos a série em cossenos com apenas harmônicos ímpares:
y(t)=2\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{16+\big((2m+1)\pi\big)^2}\cos\big((2m+1)\pi t\big).
Podemos simplificar o fator 2\cdot 8=16, ficando
y(t)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{16}{16+\big((2m+1)\pi\big)^2}\cos\big((2m+1)\pi t\big).

Resposta

y(t)=\sum_{\substack{k=-\infty\\\ k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{8}{16+(k\pi)^2}\,e^{jk\pi t}í
\text{(equivalente)}\qquad y(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{8}{16+\big((2m+1)\pi\big)^2}\;e^{j(2m+1)\pi t}
\text{(forma real)}\qquad y(t)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{16}{16+\big((2m+1)\pi\big)^2}\cos\big((2m+1)\pi t\big)

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