Seja x_{1}(t) um sinal periódico de tempo contínuo com frequência fundamental \omega_{1} e coeficientes de Fourier a_{k}. Dado que
x_{2}(t)=x_{1}\left(\frac{t}{2}\right)
como a frequência fundamental de x_{2}(t) se relaciona com a de x_{1}(t) ? Além disso, encontre também uma relação entre os coeficientes da série de Fourier b_{k} de x_{2}(t) e os coeficientes a_{k} de x_{1}(t). Você pode usar as propriedades da Série de Fourier.
Resp: \omega_{2}=\omega_{1} / 2, b_{k}=a_{k}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas: \n
  • Temos um sinal periódico de tempo contínuo x_{1}(t) com frequência fundamental \omega_{1} e coeficientes de Série de Fourier a_{k}. \n
  • Define-se x_{2}(t)=x_{1}\!\left(\dfrac{t}{2}\right). \n
    As perguntas são: \n
  1. Como a frequência fundamental de x_{2}(t) se relaciona com \omega_{1}? \n
  2. Como os coeficientes de Série de Fourier b_{k} de x_{2}(t) se relacionam com os coeficientes a_{k} de x_{1}(t)? \n
    Essas são as informações relevantes que usaremos nas etapas seguintes.

Passo 2

Vamos entender periodicidade e período fundamental. \n
  • Se x_{1}(t) é periódico com período T_{1}, então por definição x_{1}(t+T_{1})=x_{1}(t) para todo t. \n
  • A frequência angular fundamental \omega_{1} está relacionada ao período por \omega_{1}=\dfrac{2\pi}{T_{1}}. \n
    Agora analisamos x_{2}(t)=x_{1}\!\left(\dfrac{t}{2}\right) para encontrar seu período T_{2}. Queremos o menor T_{2}>0 tal que x_{2}(t+T_{2})=x_{2}(t) para todo t.

Passo 3

Calculemos x_{2}(t+T_{2}) e imponhamos periodicidade: \n
x_{2}(t+T_{2})=x_{1}\!\left(\frac{t+T_{2}}{2}\right)=x_{1}\!\left(\frac{t}{2}+\frac{T_{2}}{2}\right).
Para que isso seja igual a x_{1}\!\left(\frac{t}{2}\right)=x_{2}(t) para todo t, precisamos que \dfrac{T_{2}}{2} seja um múltiplo inteiro do período T_{1}, ou seja \dfrac{T_{2}}{2}=nT_{1} com n\in\mathbb{Z}. O menor T_{2}>0 ocorre para n=1, logo \dfrac{T_{2}}{2}=T_{1}.

Passo 4

Da igualdade \dfrac{T_{2}}{2}=T_{1} obtemos \n
T_{2}=2T_{1}.
Agora relacionamos frequências angulares fundamentais: \n
\omega_{2}=\frac{2\pi}{T_{2}}=\frac{2\pi}{2T_{1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{T_{1}}=\frac{\omega_{1}}{2}.
Portanto a frequência fundamental de x_{2} é metade da de x_{1}.

Passo 5

Agora vamos relacionar as séries de Fourier. Escrevemos a Série de Fourier complexa de x_{1}(t) na forma usual:
x_{1}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k}\,e^{ik\omega_{1} t},
onde k é o índice harmônico inteiro e a_{k} são os coeficientes complexos (cada a_{k} representa a amplitude e fase da harmônica k-ésima).

Passo 6

Substituímos t/2 na expansão de x_{1} para obter x_{2}:
x_{2}(t)=x_{1}\!\left(\frac{t}{2}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k}\,e^{ik\omega_{1}\frac{t}{2}}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k}\,e^{ik\left(\frac{\omega_{1}}{2}\right) t}.
Comparando com a forma padrão da Série de Fourier de x_{2},
x_{2}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} b_{k}\,e^{ik\omega_{2} t},
vemos que \omega_{2}=\dfrac{\omega_{1}}{2} (já obtido antes) e que os coeficientes na expansão são iguais termo a termo, isto é b_{k}=a_{k} para todo k. Isso decorre do fato de que a expansão de x_{2} acima já está em termos de expoentes e^{ik\omega_{2}t} com os mesmos multiplicadores a_{k}.

Passo 7

Para reforçar com a fórmula dos coeficientes (verificação direta): os coeficientes b_{m} são dados por
b_{m}=\frac{1}{T_{2}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{2}} x_{2}(t)\,e^{-im\omega_{2} t}\,dt.
Fazemos a mudança de variável u=\dfrac{t}{2}, então t=2u e dt=2\,du. Um intervalo de comprimento T_{2}=2T_{1} em t corresponde a um intervalo de comprimento T_{1} em u. Substituindo:
b_{m}=\frac{1}{T_{2}}\int_{u_{0}}^{u_{0}+T_{1}} x_{1}(u)\,e^{-im\omega_{2}(2u)}\,2\,du.
Como \omega_{2}=\dfrac{\omega_{1}}{2} temos \omega_{2}\cdot 2=\omega_{1}. Assim
b_{m}=\frac{2}{T_{2}}\int_{u_{0}}^{u_{0}+T_{1}} x_{1}(u)\,e^{-im\omega_{1} u}\,du.
Com T_{2}=2T_{1} obtemos \dfrac{2}{T_{2}}=\dfrac{1}{T_{1}}, logo
b_{m}=\frac{1}{T_{1}}\int_{u_{0}}^{u_{0}+T_{1}} x_{1}(u)\,e^{-im\omega_{1} u}\,du=a_{m}.
Isso confirma que b_{m}=a_{m} para todo índice m.

Passo 8

Resumo e comentário prático: ao alongar o tempo (substituir t por t/2) o período dobra e a frequência angular fundamental cai pela metade; as amplitudes/fases das harmônicas (os coeficientes da Série de Fourier) permanecem as mesmas, apenas a base exponencial tem frequência menor. Um exemplo numérico rápido: se x_{1} tem T_{1}=2 s ( \omega_{1}=\pi rad/s), então x_{2} tem T_{2}=4 s e \omega_{2}=\pi/2 rad/s; os coeficientes harmônicos não mudam.

Resposta

\omega_{2}=\dfrac{\omega_{1}}{2} \n
b_{k}=a_{k}

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