Seja
um sinal periódico de tempo contínuo com frequência fundamental
e coeficientes de Fourier
. Dado que
como a frequência fundamental de
se relaciona com a de
? Além disso, encontre também uma relação entre os coeficientes da série de Fourier
de
e os coeficientes
de
. Você pode usar as propriedades da Série de Fourier.
Resp:
Resp:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas: \n
- Temos um sinal periódico de tempo contínuo
com frequência fundamental e coeficientes de Série de Fourier . \n - Define-se
. \n
As perguntas são: \n
- Como a frequência fundamental de
se relaciona com ? \n - Como os coeficientes de Série de Fourier
de se relacionam com os coeficientes de ? \n
Essas são as informações relevantes que usaremos nas etapas seguintes.
Passo 2
Vamos entender periodicidade e período fundamental. \n
- Se
é periódico com período , então por definição para todo . \n - A frequência angular fundamental
está relacionada ao período por . \n
Agora analisamospara encontrar seu período . Queremos o menor tal que para todo .
Passo 3
Calculemos
e imponhamos periodicidade: \n
Para que isso seja igual a
para todo
, precisamos que
seja um múltiplo inteiro do período
, ou seja
com
. O menor
ocorre para
, logo
.
Passo 4
Da igualdade
obtemos \n
Agora relacionamos frequências angulares fundamentais: \n
Portanto a frequência fundamental de
é metade da de
.
Passo 5
Agora vamos relacionar as séries de Fourier. Escrevemos a Série de Fourier complexa de
na forma usual:
onde
é o índice harmônico inteiro e
são os coeficientes complexos (cada
representa a amplitude e fase da harmônica
-ésima).
Passo 6
Substituímos
na expansão de
para obter
:
Comparando com a forma padrão da Série de Fourier de
,
vemos que
(já obtido antes) e que os coeficientes na expansão são iguais termo a termo, isto é
para todo
. Isso decorre do fato de que a expansão de
acima já está em termos de expoentes
com os mesmos multiplicadores
.
Passo 7
Para reforçar com a fórmula dos coeficientes (verificação direta): os coeficientes
são dados por
Fazemos a mudança de variável
, então
e
. Um intervalo de comprimento
em
corresponde a um intervalo de comprimento
em
. Substituindo:
Como
temos
. Assim
Com
obtemos
, logo
Isso confirma que
para todo índice
.
Passo 8
Resumo e comentário prático: ao alongar o tempo (substituir
por
) o período dobra e a frequência angular fundamental cai pela metade; as amplitudes/fases das harmônicas (os coeficientes da Série de Fourier) permanecem as mesmas, apenas a base exponencial tem frequência menor. Um exemplo numérico rápido: se
tem
s (
rad/s), então
tem
s e
rad/s; os coeficientes harmônicos não mudam.