Considere três sinais periódicos de tempo contínuo cujas representações em série de Fourier sejam as seguintes:
x_{1}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} e^{j k \omega_{0} t}
\begin{gathered} x_{2}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \cos (k \pi) e^{j k \omega_{0} t} \\\ x_{3}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} j \sin \left(\frac{k \pi}{2}\right) e^{j k \omega_{0} t} \end{gathered}
(a) Qual ou quais dos três sinais são reais?
Resp: x_{2}(t), x_{3}(t)
(b) Qual ou quais dos três sinais são pares?
Resp: x_{2}(t)

Passo 1

O enunciado dá três sinais periódicos no tempo contínuo, representados em série de Fourier por:
x_{1}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} e^{j k \omega_{0} t}
x_{2}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \cos (k \pi)\, e^{j k \omega_{0} t}
x_{3}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} j \sin \left(\frac{k \pi}{2}\right)\, e^{j k \omega_{0} t}
As perguntas são:
(a) Qual ou quais dos três sinais são reais?
(b) Qual ou quais dos três sinais são pares?
Listando as informações relevantes: em cada sinal a expansão está na forma padrão da série de Fourier complexa, com coeficiente de harmônica k sendo, respectivamente, a_{k}, \cos(k\pi) e j\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right).

Passo 2

Relembre (passo-a-passo) a condição que garante que um sinal representado por séries de Fourier é real.
Começo pela definição prática: um sinal x(t) é real se e somente se satisfaça x(t)=x^{*}(t) para todo t. Escrevendo a série e conjugando:
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} e^{j k \omega_{0} t}
conjugando tudo:
x^{*}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k}^{*} e^{-j k \omega_{0} t}.
Agora troco o índice k por -m (ou seja, faço m=-k) na soma do lado direito para escrever tudo na forma e^{j m \omega_{0} t}:
x^{*}(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{-m}^{*} e^{j m \omega_{0} t}.
Para que x(t)=x^{*}(t) para todo t precisamos que os coeficientes que multiplicam e^{j m \omega_{0} t} sejam iguais termo a termo. Assim obtemos a condição necessária e suficiente:
a_{m}=a_{-m}^{*}\quad\text{para todo }m.
Em notação usual:
a_{-k}=a_{k}^{*}.
Essa é a condição que vamos usar para testar se um sinal dado pela sua série de Fourier é real.

Passo 3

Agora a condição para o sinal ser par (simétrico em torno de t=0): x(t) é par se e somente se x(t)=x(-t) para todo t.
Escrevo x(-t) usando a série:
x(-t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} e^{-j k \omega_{0} t}.
Novamente trocando k por -m para ter a forma e^{j m \omega_{0} t}:
x(-t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{-m} e^{j m \omega_{0} t}.
Para que x(-t)=x(t) para todo t é preciso que os coeficientes coincidam termo a termo, ou seja:
a_{m}=a_{-m}\quad\text{para todo }m.
Portanto, a condição para paridade (par) é
a_{-k}=a_{k}.
Observação útil: se um sinal é real e par, então seus coeficientes a_k são reais e satisfazem a_{-k}=a_k. Vou usar essas duas condições concretas ao analisar cada sinal.

Passo 4

Análise de x_{1}(t).
Coeficientes: a_{k} genéricos (não especificados). Para ser real precisaríamos da condição
a_{-k}=a_{k}^{*}\quad\text{(para todo }k).
Mas como a_{k} não são dados, não podemos afirmar que essa igualdade vale. Logo não podemos garantir que x_{1}(t) seja real; ele pode ser real ou complexo dependendo dos a_{k}. Como a pergunta é “qual ou quais são reais?” e estamos considerando apenas o que é garantido pelas informações, a conclusão é que x_{1}(t) não pode ser declarado real a partir do enunciado (ou seja, não é necessariamente real). Também, sem conhecer os a_k não dá para afirmar paridade. Portanto x_{1}(t) fica de fora das respostas certas.

Passo 5

Análise de x_{2}(t).
Aqui os coeficientes são
a_{k}^{(2)}=\cos(k\pi).
Usei a notação a_{k}^{(2)} só para referir ao coeficiente do sinal x_{2}.
Propriedades do coeficiente:
  • \cos(k\pi) é um número real para todo inteiro k.
  • \cos(-k\pi)=\cos(k\pi) (a função cosseno é par), então os coeficientes são simétricos em k.
Podemos também usar a identidade \cos(k\pi)=(-1)^{k} (isso pode ajudar a visualizar a sequência: para k=0,1,2,3,\dots a sequência é 1,-1,1,-1,\dots).
Verificando as condições:
  • Para ser real precisamos de a_{-k}=a_{k}^{*}. Aqui a_{k}^{*}=\cos(k\pi) porque são reais, e a_{-k}=\cos(-k\pi)=\cos(k\pi). Logo a_{-k}=a_{k}^{*} vale, portanto x_{2}(t) é real.
  • Para ser par precisamos de a_{-k}=a_{k}. Já vimos que isso vale porque \cos(-k\pi)=\cos(k\pi). Logo x_{2}(t) é par.
Conclusão parcial: x_{2}(t) é real e é par.

Passo 6

Análise de x_{3}(t).
Aqui os coeficientes são
a_{k}^{(3)}=j\,\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right).
Primeiro verifico a condição de sinal real:
  • Calculo a_{-k}^{(3)}:
a_{-k}^{(3)}=j\,\sin\!\left(\frac{-k\pi}{2}\right)=j\left(-\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right)\right)=-j\,\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right).
  • Calculo a_{k}^{(3)*} (conjugado):
a_{k}^{(3)*}=(j\,\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right))^{*}=-j\,\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right),
pois \sin é real e j^{*}=-j.
Comparando, vemos que
a_{-k}^{(3)}=a_{k}^{(3)*}
para todo k. Portanto a condição para x_{3}(t) ser real está satisfeita, então x_{3}(t) é real.
Agora verifico a condição de paridade:
  • Para ser par precisaríamos de a_{-k}^{(3)}=a_{k}^{(3)}.
  • Mas a_{-k}^{(3)}=-j\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right) e a_{k}^{(3)}=j\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right). Essas duas quantidades são iguais apenas quando j\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right)=0, isto é quando \sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right)=0. Isso acontece somente para alguns valores de k (por exemplo k múltiplo de 2), mas não para todo inteiro k. Portanto não vale em geral para todo k, então a_{-k}^{(3)}\neq a_{k}^{(3)} e x_{3}(t) não é par.
Uma maneira prática de ver isso (só para intuição): considere k=1. Então a_{1}^{(3)}=j\sin(\pi/2)=j e a_{-1}^{(3)}=j\sin(-\pi/2)=-j. Como j\neq -j, a simetria necessária para ser par falha já neste k.
Conclusão parcial: x_{3}(t) é real, mas não é par.

Passo 7

Recapitulando os resultados obtidos passo a passo:
  • x_{1}(t): não dá para afirmar que é real nem par porque os coeficientes a_{k} não foram especificados.
  • x_{2}(t): os coeficientes são reais e pares em k, portanto x_{2}(t) é real e par.
  • x_{3}(t): os coeficientes satisfazem a_{-k}=a_{k}^{*}, logo x_{3}(t) é real; mas não satisfazem a_{-k}=a_{k}, logo x_{3}(t) não é par.
Força aí — você já tem os argumentos formais que precisa decorar rápido para a prova: condição a_{-k}=a_{k}^{*} para real e a_{-k}=a_{k} para par. Aplique diretamente aos coeficientes dados e chega-se às respostas acima.

Resposta

(a) x_{2}(t),\\ x_{3}(t)
(b) x_{2}(t)

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