Considere três sinais periódicos de tempo contínuo cujas representações em série de Fourier sejam as seguintes:
(a) Qual ou quais dos três sinais são reais?
Resp:
(b) Qual ou quais dos três sinais são pares?
Resp:
(b) Qual ou quais dos três sinais são pares?
Passo 1
O enunciado dá três sinais periódicos no tempo contínuo, representados em série de Fourier por:
As perguntas são:
(a) Qual ou quais dos três sinais são reais?
(b) Qual ou quais dos três sinais são pares?
(a) Qual ou quais dos três sinais são reais?
(b) Qual ou quais dos três sinais são pares?
Listando as informações relevantes: em cada sinal a expansão está na forma padrão da série de Fourier complexa, com coeficiente de harmônica
sendo, respectivamente,
,
e
.
Passo 2
Relembre (passo-a-passo) a condição que garante que um sinal representado por séries de Fourier é real.
Começo pela definição prática: um sinal
é real se e somente se satisfaça
para todo
. Escrevendo a série e conjugando:
conjugando tudo:
Agora troco o índice
por
(ou seja, faço
) na soma do lado direito para escrever tudo na forma
:
Para que
para todo
precisamos que os coeficientes que multiplicam
sejam iguais termo a termo. Assim obtemos a condição necessária e suficiente:
Em notação usual:
Essa é a condição que vamos usar para testar se um sinal dado pela sua série de Fourier é real.
Passo 3
Agora a condição para o sinal ser par (simétrico em torno de
):
é par se e somente se
para todo
.
Escrevo
usando a série:
Novamente trocando
por
para ter a forma
:
Para que
para todo
é preciso que os coeficientes coincidam termo a termo, ou seja:
Portanto, a condição para paridade (par) é
Observação útil: se um sinal é real e par, então seus coeficientes
são reais e satisfazem
. Vou usar essas duas condições concretas ao analisar cada sinal.
Passo 4
Análise de
.
Coeficientes:
genéricos (não especificados). Para ser real precisaríamos da condição
Mas como
não são dados, não podemos afirmar que essa igualdade vale. Logo não podemos garantir que
seja real; ele pode ser real ou complexo dependendo dos
. Como a pergunta é “qual ou quais são reais?” e estamos considerando apenas o que é garantido pelas informações, a conclusão é que
não pode ser declarado real a partir do enunciado (ou seja, não é necessariamente real). Também, sem conhecer os
não dá para afirmar paridade. Portanto
fica de fora das respostas certas.
Passo 5
Análise de
.
Aqui os coeficientes são
Usei a notação
só para referir ao coeficiente do sinal
.
Propriedades do coeficiente:
-
é um número real para todo inteiro . -
(a função cosseno é par), então os coeficientes são simétricos em .
Podemos também usar a identidade
(isso pode ajudar a visualizar a sequência: para
a sequência é
).
Verificando as condições:
- Para ser real precisamos de
. Aqui porque são reais, e . Logo vale, portanto é real. - Para ser par precisamos de
. Já vimos que isso vale porque . Logo é par.
Conclusão parcial:
é real e é par.
Passo 6
Análise de
.
Aqui os coeficientes são
Primeiro verifico a condição de sinal real:
- Calculo
:
- Calculo
(conjugado):
pois
é real e
.
Comparando, vemos que
para todo
. Portanto a condição para
ser real está satisfeita, então
é real.
Agora verifico a condição de paridade:
- Para ser par precisaríamos de
. - Mas
e . Essas duas quantidades são iguais apenas quando , isto é quando . Isso acontece somente para alguns valores de (por exemplo múltiplo de ), mas não para todo inteiro . Portanto não vale em geral para todo , então e não é par.
Uma maneira prática de ver isso (só para intuição): considere
. Então
e
. Como
, a simetria necessária para ser par falha já neste
.
Conclusão parcial:
é real, mas não é par.
Passo 7
Recapitulando os resultados obtidos passo a passo:
-
: não dá para afirmar que é real nem par porque os coeficientes não foram especificados. -
: os coeficientes são reais e pares em , portanto é real e par. -
: os coeficientes satisfazem , logo é real; mas não satisfazem , logo não é par.
Força aí — você já tem os argumentos formais que precisa decorar rápido para a prova: condição
para real e
para par. Aplique diretamente aos coeficientes dados e chega-se às respostas acima.
Resposta
(a)
(b)
(b)