Considere um sistema LIT de tempo contínuo com resposta ao impulso
h(t)=e^{-4|t|}
Encontre a representação em série de Fourier da saída y(t) para cada uma das seguintes entradas:
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-n)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma representação em série de Fourier da saída:
  • A resposta ao impulso do sistema LIT é h(t)=e^{-4|t|}.
  • A entrada é o trem de impulsos \displaystyle x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-n).
  • Pergunta: encontrar a série de Fourier complexa (representação em série de Fourier) da saída y(t).
Informações úteis que já podemos extrair do enunciado (sem resolver ainda):
  • A entrada é periódica com período T=1 (porque os impulsos estão em t=n, n\in\mathbb{Z}).
  • Para sinais periódicos é natural usar a série de Fourier complexa com harmônicos \omega_k=\tfrac{2\pi k}{T}=2\pi k.

Passo 2

Entender a série de Fourier complexa do sinal de entrada e calcular seus coeficientes. Vou lembrar a fórmula e explicá-la passo a passo.
Fórmula da série de Fourier complexa (coeficiente c_k) para período T:
c_k=\frac{1}{T}\int_{T} x(t)\,e^{-j\omega_k t}\,dt,
onde \omega_k=\frac{2\pi k}{T} e a integral é feita sobre qualquer janela de comprimento T (por exemplo [0,1) aqui).
Aplicando ao nosso caso, T=1 e \omega_k=2\pi k. Tomamos a janela [0,1). Como x(t) é um trem de deltas, dentro de [0,1) só existe \delta(t) (o impulso em t=0). Então
c_k=\int_{0}^{1} \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n)\right) e^{-j2\pi k t}\,dt =\int_{0}^{1}\delta(t)\,e^{-j2\pi k t}\,dt =e^{-j2\pi k\cdot 0}=1.
Explicação didática: a integral de \delta(t) multiplicada por uma função f(t) retorna f(0). Como T=1, há fator 1/T=1 aqui. Portanto os coeficientes da série de Fourier do trem de deltas são
\boxed{c_k=1\quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.}

Passo 3

Relacionar os coeficientes da entrada com os coeficientes da saída para um sistema LIT. Vou explicar o princípio:
Se x(t)=\sum_{k} c_k e^{j\omega_k t} é a série da entrada, pela linearidade e invariância em tempo a resposta a e^{j\omega_k t} é H(j\omega_k)e^{j\omega_k t}, onde H(j\omega) é a resposta em frequência do sistema (a transformada de Fourier de h(t)). Assim os coeficientes b_k da saída y(t)=\sum_k b_k e^{j\omega_k t} satisfazem
\boxed{b_k = c_k \cdot H(j\omega_k).}
No nosso caso já achamos c_k=1, então simplesmente
b_k = H(j\omega_k),\qquad \omega_k=2\pi k.

Passo 4

Calcular a resposta em frequência H(j\omega) do sistema, que é a transformada de Fourier de h(t)=e^{-4|t|}. Vou mostrar a integral e como simplificar:
Separando a integral em t<0 e t\ge0 (porque |t| muda de sinal):
H(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4|t|} e^{-j\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{0} e^{4t} e^{-j\omega t}\,dt + \int_{0}^{\infty} e^{-4t} e^{-j\omega t}\,dt.
Calcule cada parte (explico o porquê dos passos):
  • Para t<0: integrando e^{(4-j\omega)t} de -\infty a 0,
\int_{-\infty}^{0} e^{(4-j\omega)t}\,dt = \left[\frac{e^{(4-j\omega)t}}{4-j\omega}\right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{4-j\omega},
porque \Re(4-j\omega)=4>0 garante que a contribuição em -\infty é zero.
  • Para t\ge0: integrando e^{-(4+j\omega)t} de 0 a +\infty,
\int_{0}^{\infty} e^{-(4+j\omega)t}\,dt = \left[\frac{e^{-(4+j\omega)t}}{-(4+j\omega)}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{4+j\omega}.
Somando as duas partes:
H(j\omega)=\frac{1}{4-j\omega}+\frac{1}{4+j\omega} =\frac{(4+j\omega)+(4-j\omega)}{(4-j\omega)(4+j\omega)} =\frac{8}{16+\omega^{2}}.
Comentário didático: fica claro que H(j\omega) é real e par em \omega, o que tem sentido por h(t) ser real e mesmo (pois depende de |t|).

Passo 5

Avaliar H(j\omega) nos harmônicos \omega_k=2\pi k e obter os coeficientes b_k.
Substituindo \omega=2\pi k em H:
H(j2\pi k)=\frac{8}{16+(2\pi k)^{2}}=\frac{8}{16+4\pi^{2}k^{2}}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
H(j2\pi k)=\frac{2}{4+\pi^{2}k^{2}}.
Como c_k=1, temos
\boxed{b_k = \frac{2}{4+\pi^{2}k^{2}},\quad k\in\mathbb{Z}.}
Observações rápidas: b_k é real, positivo e simétrico ( b_{-k}=b_k). Para k=0 obtemos b_0=\tfrac{2}{4}= \tfrac{1}{2}.

Passo 6

(Conexão com o tempo) — interpretação alternativa e checagem de consistência: convolução do trem de deltas com h(t) dá diretamente
y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(t-n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-4|t-n|},
ou seja, y(t) é a soma de cópias deslocadas de h(t), periódica com T=1. A série de Fourier que encontramos com coeficientes b_k corresponde exatamente a essa função periódica (é a mesma função representada no domínio dos coeficientes).

Resposta

y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2}{4+\pi^{2}k^{2}}\,e^{j2\pi k t}

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