Considere um sistema LIT de tempo contínuo com resposta ao impulso
Encontre a representação em série de Fourier da saída
para cada uma das seguintes entradas:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma representação em série de Fourier da saída:
- A resposta ao impulso do sistema LIT é
. - A entrada é o trem de impulsos
. - Pergunta: encontrar a série de Fourier complexa (representação em série de Fourier) da saída
.
Informações úteis que já podemos extrair do enunciado (sem resolver ainda):
- A entrada é periódica com período
(porque os impulsos estão em , ). - Para sinais periódicos é natural usar a série de Fourier complexa com harmônicos
.
Passo 2
Entender a série de Fourier complexa do sinal de entrada e calcular seus coeficientes. Vou lembrar a fórmula e explicá-la passo a passo.
Fórmula da série de Fourier complexa (coeficiente
) para período
:
onde
e a integral é feita sobre qualquer janela de comprimento
(por exemplo
aqui).
Aplicando ao nosso caso,
e
. Tomamos a janela
. Como
é um trem de deltas, dentro de
só existe
(o impulso em
). Então
Explicação didática: a integral de
multiplicada por uma função
retorna
. Como
, há fator
aqui. Portanto os coeficientes da série de Fourier do trem de deltas são
Passo 3
Relacionar os coeficientes da entrada com os coeficientes da saída para um sistema LIT. Vou explicar o princípio:
Se
é a série da entrada, pela linearidade e invariância em tempo a resposta a
é
, onde
é a resposta em frequência do sistema (a transformada de Fourier de
). Assim os coeficientes
da saída
satisfazem
No nosso caso já achamos
, então simplesmente
Passo 4
Calcular a resposta em frequência
do sistema, que é a transformada de Fourier de
. Vou mostrar a integral e como simplificar:
Separando a integral em
e
(porque
muda de sinal):
Calcule cada parte (explico o porquê dos passos):
- Para
: integrando de a ,
porque
garante que a contribuição em
é zero.
- Para
: integrando de a ,
Somando as duas partes:
Comentário didático: fica claro que
é real e par em
, o que tem sentido por
ser real e mesmo (pois depende de
).
Passo 5
Avaliar
nos harmônicos
e obter os coeficientes
.
Substituindo
em
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Como
, temos
Observações rápidas:
é real, positivo e simétrico (
). Para
obtemos
.
Passo 6
(Conexão com o tempo) — interpretação alternativa e checagem de consistência: convolução do trem de deltas com
dá diretamente
ou seja,
é a soma de cópias deslocadas de
, periódica com
. A série de Fourier que encontramos com coeficientes
corresponde exatamente a essa função periódica (é a mesma função representada no domínio dos coeficientes).