Um sinal periódico de tempo contínuo
é real e tem um período fundamental
. Os coeficientes da série de Fourier diferentes de zero para
são especificados como
Expresse
na forma
Resp:
Passo 1
O enunciado dá um sinal periódico real
com período fundamental
. Os coeficientes complexos não nulos da série de Fourier são:
O que se pede é escrever
na forma
ou seja, representar o sinal como soma de cossenos com amplitudes
, frequências
e fases
. Listei acima todas as informações relevantes do enunciado.
Passo 2
Calcular a frequência angular fundamental
. A definição é
onde
é o período fundamental. Substituindo
,
Assim, as componentes harmônicas têm frequências
para inteiro
.
Passo 3
Lembrar a relação entre a série de Fourier complexa e a representação em cossenos (para sinal real). Para
a contribuição das harmônicas
e
pode ser agrupada assim:
Explicando essa fórmula passo a passo:
- Escrevemos
em forma polar como , onde é o módulo e é o argumento (fase) de . - Então
e (porque para sinal real ). - Somando-os obtemos
, que é um cosseno de amplitude e fase .
Portanto, para cada parobtemos um termo cosseno com amplitude e fase .
Passo 4
Determinar o termo correspondente a
. Do enunciado temos
.
- Calcular o módulo:
. - Calcular o argumento (fase):
(porque ).
Aplicando a fórmula do passo anterior, a contribuição das harmônicasé
Lembrando
, temos o termo
Passo 5
Determinar o termo correspondente a
. Do enunciado temos
e também
(real).
- Calcular o módulo:
. - Calcular o argumento:
(número real e positivo).
Aplicando a fórmula do passo 3, a contribuição das harmônicasé
Como
, isso vira
Passo 6
Tratar a componente
(termo DC). O enunciado não fornece
, então assumimos
. Assim não há termo de valor médio (sem cosseno constante).
Passo 7
Agora juntamos as contribuições não-nulas que encontramos para
e
. Cada par
virou um cosseno com amplitude e fase conforme calculado nos passos anteriores. Não há outras harmônicas não nulas segundo o enunciado, e
.