Um sinal periódico de tempo contínuo x(t) é real e tem um período fundamental T=8. Os coeficientes da série de Fourier diferentes de zero para x(t) são especificados como
a_{1}=a_{-1}^{*}=j, \quad a_{5}=a_{-5}=2 .
Expresse x(t) na forma
x(t)=\sum_{k=0}^{\infty} A_{k} \cos \left(\omega_{k} t+\phi_{k}\right) .
Resp: x(t)=4 \cos (5 \pi / 4 t)+2 \cos (\pi / 4 t+\pi / 2)

Passo 1

O enunciado dá um sinal periódico real x(t) com período fundamental T=8. Os coeficientes complexos não nulos da série de Fourier são:
a_{1}=a_{-1}^{*}=j,\qquad a_{5}=a_{-5}=2.
O que se pede é escrever x(t) na forma
x(t)=\sum_{k=0}^{\infty} A_{k}\cos\!\left(\omega_{k}t+\phi_{k}\right),
ou seja, representar o sinal como soma de cossenos com amplitudes A_k, frequências \omega_k e fases \phi_k. Listei acima todas as informações relevantes do enunciado.

Passo 2

Calcular a frequência angular fundamental \omega_0. A definição é
\omega_0=\frac{2\pi}{T},
onde T é o período fundamental. Substituindo T=8,
\omega_0=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.
Assim, as componentes harmônicas têm frequências \omega_k=k\omega_0=k\frac{\pi}{4} para inteiro k.

Passo 3

Lembrar a relação entre a série de Fourier complexa e a representação em cossenos (para sinal real). Para k>0 a contribuição das harmônicas k e -k pode ser agrupada assim:
a_k e^{j k\omega_0 t}+a_{-k} e^{-j k\omega_0 t} =2|a_k|\cos\!\big(k\omega_0 t+\arg(a_k)\big).
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • Escrevemos a_k em forma polar como a_k=|a_k|e^{j\theta_k}, onde |a_k| é o módulo e \theta_k=\arg(a_k) é o argumento (fase) de a_k.
  • Então a_k e^{j k\omega_0 t}=|a_k|e^{j(\theta_k+k\omega_0 t)} e a_{-k} e^{-j k\omega_0 t}=|a_k|e^{-j(\theta_k+k\omega_0 t)} (porque para sinal real a_{-k}=a_k^*=|a_k|e^{-j\theta_k}).
  • Somando-os obtemos 2|a_k|\cos(k\omega_0 t+\theta_k), que é um cosseno de amplitude 2|a_k| e fase \theta_k.
    Portanto, para cada par \pm k obtemos um termo cosseno com amplitude A_k=2|a_k| e fase \phi_k=\arg(a_k).

Passo 4

Determinar o termo correspondente a k=1. Do enunciado temos a_1=j.
  • Calcular o módulo: |a_1|=|j|=1.
  • Calcular o argumento (fase): \arg(j)=\frac{\pi}{2} (porque j=e^{j\pi/2}).
    Aplicando a fórmula do passo anterior, a contribuição das harmônicas k=\pm1 é
2|a_1|\cos\!\big(1\cdot\omega_0 t+\arg(a_1)\big) =2\cdot 1\cdot \cos\!\big(\omega_0 t+\tfrac{\pi}{2}\big).
Lembrando \omega_0=\tfrac{\pi}{4}, temos o termo
2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}t+\tfrac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Determinar o termo correspondente a k=5. Do enunciado temos a_5=2 e também a_{-5}=2 (real).
  • Calcular o módulo: |a_5|=|2|=2.
  • Calcular o argumento: \arg(2)=0 (número real e positivo).
    Aplicando a fórmula do passo 3, a contribuição das harmônicas k=\pm5 é
2|a_5|\cos\!\big(5\cdot\omega_0 t+\arg(a_5)\big) =2\cdot 2\cdot \cos\!\big(5\omega_0 t+0\big).
Como \omega_0=\tfrac{\pi}{4}, isso vira
4\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}t\right).

Passo 6

Tratar a componente k=0 (termo DC). O enunciado não fornece a_0, então assumimos a_0=0. Assim não há termo de valor médio (sem cosseno constante).

Passo 7

Agora juntamos as contribuições não-nulas que encontramos para k=1 e k=5. Cada par \pm k virou um cosseno com amplitude e fase conforme calculado nos passos anteriores. Não há outras harmônicas não nulas segundo o enunciado, e a_0=0.

Resposta

x(t)=4\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}t\right)+2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}t+\tfrac{\pi}{2}\right)

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