Considere um sistema LIT de tempo contínuo com resposta ao impulso
Encontre a representação em série de Fourier da saída
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o impulso do sistema LIT:
- Dado o sinal de entrada periódico com período fundamental
s e definido no intervalo [\left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right]) por
- O que pedimos: a representação em série de Fourier da saída .
Informações úteis que já temos do enunciado:
- Período do sinal:
- Frequência angular fundamental:
-
é um pulso retangular de largura (entre e ) e amplitude , repetido a cada 1 s. - O sistema é LIT com resposta ao impulso dada (vamos usar propriedades de sistemas LIT e séries de Fourier).]
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples e sem pular etapas):
- Para sinais periódicos, é prático trabalhar com a série de Fourier complexa: representar
como soma de exponenciais . - Uma propriedade fundamental (que vamos justificar em poucas palavras) é: se
e o sistema é LIT com transformada de Fourier , então a resposta a cada exponencial é multiplicada por no ponto . Logo os coeficientes da saída são . - Assim o plano é:
- Calcular os coeficientes
da série de . - Calcular
, e avaliar em . - Multiplicar para obter
. - Escrever
.
- Calcular os coeficientes
Breve justificativa da propriedade usada:
- Linearidade e deslocamento: convolução com
aplicada a uma exponencial dá . Pela linearidade, estendemos isso soma a soma para todos os termos da série.
Passo 3
Cálculo dos coeficientes
da série de Fourier de
:
- Fórmula para coeficiente complexo (período
):
Como
e escolhemos o intervalo
:
- Como
apenas em e zero no restante do período, a integral reduz a:
Calcule separadamente
e
.
Para
:
Explicação: é a média do pulso sobre o período; a largura é
e amplitude
, logo valor médio
.
Para
: calcular integral exponencial.
Usamos a identidade
. Aplicando com
:
Observação importante (útil na prova):
sempre que
é par, então
para
par. Para
ímpar,
vale
dependendo do resto de
módulo 4.
Resumo dos
:
Exemplo concreto para fixar:
- Para
: . - Para
: .
Passo 4
Cálculo da resposta em frequência
do sistema:
- Definição da transformada de Fourier de
:
- Observação:
é função par ( ), então a integral pode ser escrita usando cosseno:
- Usamos a fórmula (padrão de transformadas/Laplace):
Com
obtemos
Multiplicando por 2:
- Portanto, este é o ganho em frequência do sistema. Note que
é real e positivo para todo , o que significa que o sistema atenua mais os componentes de alta frequência (filtro passa-baixas suave).
Passo 5
Avaliação de
nas harmônicas e obtenção dos coeficientes
da saída:
- As harmônicas estão em
. Substituindo na expressão de :
- Pela propriedade do sistema LIT aplicada à série de Fourier:
Calcule
(caso
) e
para
.
Para
:
Para
:
Observação: como
para
par,
para
par também. Assim apenas harmônicos ímpares sobrevivem, com sinal alternado conforme
.
Exemplo numérico (fixando a intuição):
- Para
:
Passo 6
Montagem final da série de Fourier da saída
:
- A saída é a soma das exponenciais ponderadas por
:
onde os coeficientes são os calculados acima:
- Observação didática: essa expressão já é a representação em série de Fourier complexa de
. Se você quiser a forma real (em cossenos/senos), pode agrupar termos positivos e negativos usando simetria (o que garante que é real). Mas para a maioria das provas a forma complexa com explícito é completamente aceitável e compacta.
Resposta
onde