Considere um sistema LIT de tempo contínuo com resposta ao impulso
h(t)=e^{-4|t|}
Encontre a representação em série de Fourier da saída y(t)\) para cada uma das seguintes entradas: \(x(t)\) é períodico, com período fundamental igual a \(T=1 \mathrm{~s}\), e no intervalo \(t \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\), \(x(t)= \begin{cases}1, & |t| \leq \frac{1}{4} \\\\ 0, & |t|>\frac{1}{4}\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o impulso do sistema LIT: h(t)=e^{-4|t|}.
  • Dado o sinal de entrada periódico com período fundamental T=1 s e definido no intervalo [\left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right]) por
x(t)=\begin{cases} 1, & |t|\le \tfrac{1}{4},\\[4pt] 0, & |t|>\tfrac{1}{4}. \end{cases}
  • O que pedimos: a representação em série de Fourier da saída y(t)\] do sistema quando a entrada é esse \(x(t).
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • Período do sinal: T=1.
  • Frequência angular fundamental: \omega_0=2\pi/T=2\pi.
  • x(t) é um pulso retangular de largura \tfrac{1}{2} (entre -\tfrac{1}{4} e \tfrac{1}{4}) e amplitude 1, repetido a cada 1 s.
  • O sistema é LIT com resposta ao impulso dada (vamos usar propriedades de sistemas LIT e séries de Fourier).]

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples e sem pular etapas):
  • Para sinais periódicos, é prático trabalhar com a série de Fourier complexa: representar x(t) como soma de exponenciais \sum C_n e^{j n \omega_0 t}.
  • Uma propriedade fundamental (que vamos justificar em poucas palavras) é: se x(t)=\sum C_n e^{j n \omega_0 t} e o sistema é LIT com transformada de Fourier H(j\omega), então a resposta a cada exponencial é multiplicada por H no ponto \omega=n\omega_0. Logo os coeficientes da saída são D_n = H(j n \omega_0)\,C_n.
  • Assim o plano é:
    1. Calcular os coeficientes C_n da série de x(t).
    2. Calcular H(j\omega), e avaliar em \omega=n\omega_0.
    3. Multiplicar para obter D_n.
    4. Escrever y(t)=\sum D_n e^{j n \omega_0 t}.
Breve justificativa da propriedade usada:
  • Linearidade e deslocamento: convolução com h(t) aplicada a uma exponencial e^{j n \omega_0 t} h(t)*e^{j n \omega_0 t}=H(j n \omega_0)e^{j n \omega_0 t}. Pela linearidade, estendemos isso soma a soma para todos os termos da série.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes C_n da série de Fourier de x(t):
  • Fórmula para coeficiente complexo (período T=1):
C_n=\frac{1}{T}\int_{T} x(t) e^{-j n \omega_0 t}\,dt
Como T=1 e escolhemos o intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right]:
C_n=\int_{-1/2}^{1/2} x(t) e^{-j 2\pi n t}\,dt.
  • Como x(t)=1 apenas em [-1/4,1/4] e zero no restante do período, a integral reduz a:
C_n=\int_{-1/4}^{1/4} e^{-j2\pi n t}\,dt.
Calcule separadamente n=0 e n\neq 0.
Para n=0:
C_0=\int_{-1/4}^{1/4} 1\,dt=\frac{1}{2}.
Explicação: é a média do pulso sobre o período; a largura é \tfrac{1}{2} e amplitude 1, logo valor médio \tfrac{1}{2}.
Para n\neq 0: calcular integral exponencial.
C_n=\left[\frac{e^{-j2\pi n t}}{-j2\pi n}\right]_{t=-1/4}^{t=1/4} =\frac{e^{-j\pi n/2}-e^{j\pi n/2}}{-j2\pi n}.
Usamos a identidade e^{-j\alpha}-e^{j\alpha}=-2j\sin\alpha. Aplicando com \alpha=\tfrac{\pi n}{2}:
C_n=\frac{-2j\sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right)}{-j2\pi n} =\frac{1}{\pi n}\sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right).
Observação importante (útil na prova): \sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right)=0 sempre que n é par, então C_n=0 para n par. Para n ímpar, \sin(\tfrac{\pi n}{2}) vale \pm 1 dependendo do resto de n módulo 4.
Resumo dos C_n:
C_0=\frac{1}{2},\qquad C_n=\frac{1}{\pi n}\sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right)\quad (n\neq 0).
Exemplo concreto para fixar:
  • Para n=1: C_1=\dfrac{1}{\pi}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{1}{\pi}.
  • Para n=2: C_2=\dfrac{1}{2\pi}\sin(\pi)=0.

Passo 4

Cálculo da resposta em frequência H(j\omega) do sistema:
  • Definição da transformada de Fourier de h(t):
H(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4|t|}e^{-j\omega t}\,dt.
  • Observação: h(t) é função par ( h(t)=h(-t)), então a integral pode ser escrita usando cosseno:
H(j\omega)=2\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\cos(\omega t)\,dt.
  • Usamos a fórmula (padrão de transformadas/Laplace):
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(\omega t)\,dt=\frac{a}{a^2+\omega^2},\qquad a>0.
Com a=4 obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\cos(\omega t)\,dt=\frac{4}{16+\omega^2}.
Multiplicando por 2:
H(j\omega)=\frac{8}{16+\omega^2}.
  • Portanto, este é o ganho em frequência do sistema. Note que H(j\omega) é real e positivo para todo \omega, o que significa que o sistema atenua mais os componentes de alta frequência (filtro passa-baixas suave).

Passo 5

Avaliação de H nas harmônicas e obtenção dos coeficientes D_n da saída:
  • As harmônicas estão em \omega=n\omega_0=n\cdot 2\pi. Substituindo na expressão de H:
H(j n\omega_0)=H(j 2\pi n)=\frac{8}{16+(2\pi n)^2} =\frac{8}{16+4\pi^2 n^2} =\frac{2}{4+\pi^2 n^2}.
  • Pela propriedade do sistema LIT aplicada à série de Fourier:
D_n=H(j n\omega_0)\,C_n.
Calcule D_0 (caso n=0) e D_n para n\neq 0.
Para n=0:
H(0)=\frac{8}{16}= \frac{1}{2},\qquad D_0=C_0 H(0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Para n\neq 0:
D_n=\frac{2}{4+\pi^2 n^2}\cdot\frac{1}{\pi n}\sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right) =\frac{2\sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right)}{\pi n\,(4+\pi^2 n^2)}.
Observação: como C_n=0 para n par, D_n=0 para n par também. Assim apenas harmônicos ímpares sobrevivem, com sinal alternado conforme \sin(\tfrac{\pi n}{2}).
Exemplo numérico (fixando a intuição):
  • Para n=1:
D_1=\frac{2\sin(\pi/2)}{\pi\cdot 1\,(4+\pi^2)}=\frac{2}{\pi(4+\pi^2)}.

Passo 6

Montagem final da série de Fourier da saída y(t):
  • A saída é a soma das exponenciais ponderadas por D_n:
y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} D_n e^{j n \omega_0 t} \qquad\text{com }\omega_0=2\pi,
onde os coeficientes são os calculados acima:
D_0=\frac{1}{4},\qquad D_n=\frac{2\sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right)}{\pi n\,(4+\pi^2 n^2)}\quad (n\neq 0).
  • Observação didática: essa expressão já é a representação em série de Fourier complexa de y(t). Se você quiser a forma real (em cossenos/senos), pode agrupar termos positivos e negativos usando simetria D_{-n}=D_n^* (o que garante que y(t) é real). Mas para a maioria das provas a forma complexa com D_n explícito é completamente aceitável e compacta.

Resposta

y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} D_n e^{j2\pi n t},
onde
D_0=\frac{1}{4}, \qquad D_n=\frac{2\sin\left(\tfrac{\pi n}{2}\right)}{\pi n\,(4+\pi^2 n^2)}\quad (n\neq 0).

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