Considere um sistema LIT de tempo discreto com resposta ao impulso
Dado que a entrada para esse sistema é
x[n]=sumk=-infty^+infty de
determine os coeficientes da série de Fourier da saída y[n].
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! Temos um sistema LTI (Linear e Invariante no Tempo) de tempo discreto com uma resposta ao impulso dada por:
h[n]= 2, & 0 <= n <= 1 -1, & n=-1 0, & caso contrário á
A entrada desse sistema é uma soma infinita de impulsos no tempo, representada por:
x[n]=sumk=-infty^+infty de
E precisamos encontrar os coeficientes da série de Fourier da saída y[n].
Para resolver isso, vamos precisar entender como os sistemas LTI respondem a entradas periódicas e como aplicar a série de Fourier para encontrar os coeficientes desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a entrada x[n]. Ela é uma soma infinita de impulsos espaçados de 3 unidades de tempo. Isso significa que x[n] é periódica com período N=3. Em termos de séries de Fourier, isso nos indica que podemos representar x[n] como uma série harmônica com coeficientes que precisamos determinar.
A série de Fourier para uma sequência periódica x[n] com período N é dada por:
x[n] = sumk=0^N-1 X[k] e^j 2piNkn
Onde X[k] são os coeficientes da série de Fourier que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os coeficientes X[k] da série de Fourier para a entrada x[n]. Como x[n] é uma soma de impulsos a cada múltiplo de 3, temos apenas um impulso em n=0 dentro de cada período de 3 amostras.
Para calcular X[k], usamos a fórmula da série de Fourier para coeficientes:
X[k] = 1N sumn=0^N-1 x[n] e^-j 2piNkn
Substituindo N=3 e observando que x[0]=1 e , temos:
x[1=x[2=0
Então, os coeficientes X[k] = 13 (1 cdot e^-j 2pi3k cdot 0 + 0 cdot e^-j 2pi3k cdot 1 + 0 cdot e^-j 2pi3k cdot 2) = 13 são iguais para todos os X[k] e valem k.
Passo 4
Agora que temos os coeficientes da série de Fourier para a entrada x[n], vamos ver como isso afeta a saída y[n]. Em sistemas LTI, a saída no domínio da frequência é o produto da resposta do sistema na frequência com a entrada na frequência correspondente.
Primeiro, precisamos encontrar a resposta do sistema H[k] para cada componente harmônica k. A resposta do sistema na frequência k é a Transformada de Fourier discreta (DFT) da resposta ao impulso h[n].
Para N=3, os coeficientes H[k] são dados por:
H[k] = sumn=0^N-1 h[n] e^-j 2piNkn
Passo 5
Vamos calcular H[k] para cada k=0,1,2.
Primeiro, lembrando que:
h[n]= 2, & 0 <= n <= 1 -1, & n=-1 0, & caso contrário á
Como estamos trabalhando com N=3 e índices de n=0 a n=2, ignoramos n=-1 (pois ele está fora do período considerado). Portanto, h[0]=2, , e .
Calculando h[1=2:
Para h[2=0:
Para H[k]:
Para k=0:
Passo 6
Agora que temos os coeficientes H[k] do sistema, podemos encontrar os coeficientes da saída Y[k] multiplicando cada H[k] pelo correspondente X[k].
Como vimos anteriormente, X[k] = 13 para todos os k. Então:
Y[k] = H[k] cdot X[k] = 13 H[k]
Então:
Y[0] = 13 cdot 4 = 43
Y[1] = 13 cdot (1 - j raiz3) = 13 - j raiz33
Y[2] = 13 cdot (1 + j raiz3) = 13 + j raiz33
Passo 7
Finalmente, os coeficientes da série de Fourier da saída y[n] são os valores que encontramos para Y[k]. Então, resumindo:
Y[0] = 43
Y[1] = 13 - j raiz33
Y[2] = 13 + j raiz33
Resposta
Os coeficientes da série de Fourier da saída y[n] são: