Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
e^-3|t-2|
Esboce e especifique a magnitude de cada transformada de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função $ e^{-3|t-2|} $. Para isso, vamos usar a equação de análise da transformada de Fourier. Os principais tópicos que vamos precisar são:
  • Transformada de Fourier: uma ferramenta que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência.
  • Propriedades de deslocamento: que nos ajudam a tratar funções que estão “deslocadas” no tempo.
    Vamos seguir passo a passo para chegar na solução!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Isso significa que a gente integra a função original multiplicada por uma exponencial complexa ao longo de todo o tempo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que queremos transformar: $ e^{-3|t-2|} $. Essa função é uma exponencial decrescente em relação a $ |t-2| $, o que significa que ela está centrada em $ t = 2 $ e decai exponencialmente para ambos os lados desse ponto.

Passo 4

Como a função está centrada em $ t = 2 $, vamos usar a propriedade de deslocamento da transformada de Fourier. Essa propriedade diz que se tivermos uma função deslocada no tempo, $ f(t - t_0) $, sua transformada de Fourier será:
t = 2
No nosso caso, $ t_0 = 2 $.

Passo 5

Antes de aplicar o deslocamento, vamos calcular a transformada de Fourier da função básica $ e^{-3|t|} $. Sabemos que:
e^-3|t|
Onde $ a = 3 $. Então,
Fe^-a|t| = 2aa^2 + omega^2

Passo 6

Agora, aplicamos o deslocamento de $ t_0 = 2 $ usando a propriedade que mencionamos antes:
t0 = 2
Isso nos dá a transformada de Fourier completa da função original.

Passo 7

Para especificar a magnitude da transformada de Fourier, ignoramos a parte exponencial complexa (pois ela afeta apenas a fase). A magnitude é então:
|Fe^-3|t-2|| = 69 + omega^2
Um esboço dessa magnitude seria uma curva em forma de sino centrada em $ \omega = 0 $, decrescendo à medida que $ \omega $ aumenta em qualquer direção.

Resposta

A transformada de Fourier da função $ e^{-3|t-2|} $ é:
e^-3|t-2|
E a magnitude dessa transformada é:
Fe^-3|t-2| = 69 + omega^2 e^-j2omega

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