Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
Esboce e especifique a magnitude de cada transformada de Fourier.
Esboce e especifique a magnitude de cada transformada de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função $ e^{-3|t-2|} $. Para isso, vamos usar a equação de análise da transformada de Fourier. Os principais tópicos que vamos precisar são:
- Transformada de Fourier: uma ferramenta que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência.
- Propriedades de deslocamento: que nos ajudam a tratar funções que estão “deslocadas” no tempo.
Vamos seguir passo a passo para chegar na solução!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(t) $ é dada por:
Isso significa que a gente integra a função original multiplicada por uma exponencial complexa ao longo de todo o tempo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que queremos transformar: $ e^{-3|t-2|} $. Essa função é uma exponencial decrescente em relação a $ |t-2| $, o que significa que ela está centrada em $ t = 2 $ e decai exponencialmente para ambos os lados desse ponto.
Passo 4
Como a função está centrada em $ t = 2 $, vamos usar a propriedade de deslocamento da transformada de Fourier. Essa propriedade diz que se tivermos uma função deslocada no tempo, $ f(t - t_0) $, sua transformada de Fourier será:
No nosso caso, $ t_0 = 2 $.
Passo 5
Antes de aplicar o deslocamento, vamos calcular a transformada de Fourier da função básica $ e^{-3|t|} $. Sabemos que:
Onde $ a = 3 $. Então,
Passo 6
Agora, aplicamos o deslocamento de $ t_0 = 2 $ usando a propriedade que mencionamos antes:
Isso nos dá a transformada de Fourier completa da função original.
Passo 7
Para especificar a magnitude da transformada de Fourier, ignoramos a parte exponencial complexa (pois ela afeta apenas a fase). A magnitude é então:
Um esboço dessa magnitude seria uma curva em forma de sino centrada em $ \omega = 0 $, decrescendo à medida que $ \omega $ aumenta em qualquer direção.
Resposta
A transformada de Fourier da função $ e^{-3|t-2|} $ é:
E a magnitude dessa transformada é: