Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de:
X2(j omega)= 2, & 0 <= omega <= 1 -1, & -2 <= omega <= 0 0, & caso contrário á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Equação de síntese da transformada de Fourier para encontrar a transformada inversa de Fourier de uma função $ X_2(j\omega) $. Ou seja, queremos descobrir a função no domínio do tempo a partir dessa função no domínio da frequência. Para isso, vamos usar conceitos de análise de Fourier e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação de síntese da transformada de Fourier inversa. Ela diz que:
x(t) = 12pi integral-infty^+infty X(jomega) e^jomega t domega
Isso significa que para encontrar $ x(t) $, precisamos integrar a função $ X_2(j\omega) $ multiplicada por $ e^{j\omega t} $ sobre todo o intervalo de $ \omega $.

Passo 3

Observando a função $ X_2(j\omega) $, vemos que ela é diferente de zero apenas em dois intervalos:
  • De $ 0 $ a $ 1 $, $ X_2(j\omega) = 2 $
  • De $ -2 $ a $ 0 $, $ X_2(j\omega) = -1 $
Fora desses intervalos, a função é zero. Então, nossa integral vai se dividir nesses dois trechos.

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
x(t) = 12pi [ integral0^1 2 e^jomega t domega + integral-2^0 (-1) e^jomega t domega ]
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
0

Passo 6

Agora, calculamos a integral de $ -2 $ a $ 0 $:
-2

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
x(t) = 12pi [ 2 ( e^jt - 1jt ) - ( 1 - e^-j2tjt ) ]
Vamos simplificar isso.

Passo 8

Vamos distribuir e combinar os termos:
x(t) = 12pi jt [ 2(e^jt - 1) - (1 - e^-j2t) ] = 12pi jt ( 2e^jt - 2 -1 + e^-j2t )
Simplificando mais:
x(t) = 12pi jt ( 2e^jt + e^-j2t - 3 )

Passo 9

Para tornar a expressão mais apresentável, podemos fatorar $ e^{-j t} $ se necessário, mas vamos deixar assim para manter a clareza.

Resposta

A transformada inversa de Fourier de $ X_2(j\omega) $ é:
X2(jomega)

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