Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Equação de síntese da transformada de Fourier para encontrar a transformada inversa de Fourier de uma função $ X_2(j\omega) $. Ou seja, queremos descobrir a função no domínio do tempo a partir dessa função no domínio da frequência. Para isso, vamos usar conceitos de análise de Fourier e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação de síntese da transformada de Fourier inversa. Ela diz que:
Isso significa que para encontrar $ x(t) $, precisamos integrar a função $ X_2(j\omega) $ multiplicada por $ e^{j\omega t} $ sobre todo o intervalo de $ \omega $.
Passo 3
Observando a função $ X_2(j\omega) $, vemos que ela é diferente de zero apenas em dois intervalos:
- De $ 0 $ a $ 1 $, $ X_2(j\omega) = 2 $
- De $ -2 $ a $ 0 $, $ X_2(j\omega) = -1 $
Fora desses intervalos, a função é zero. Então, nossa integral vai se dividir nesses dois trechos.
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
Passo 6
Agora, calculamos a integral de $ -2 $ a $ 0 $:
Passo 7
Juntando as duas partes, temos:
Vamos simplificar isso.
Passo 8
Vamos distribuir e combinar os termos:
Simplificando mais:
Passo 9
Para tornar a expressão mais apresentável, podemos fatorar $ e^{-j t} $ se necessário, mas vamos deixar assim para manter a clareza.
Resposta
A transformada inversa de Fourier de $ X_2(j\omega) $ é: