Considere um sistema LTI cuja resposta impulsiva é dada por
h(t)=9 e^{-4 t} \sin (7 t) u(t)
Calcule a saída do sistema para uma entrada x(t)=u(t).
Solução:
Sejam
\begin{aligned} & h(\tau)=9 e^{-4 \tau} \sin (7 \tau) u(\tau)=9 e^{-4 \tau} \frac{e^{j 7 \tau}-e^{-j 7 \tau}}{2 j}, \tau \geq 0 \quad \text { e } \quad x(t-\tau)=1, \quad \tau \leq t \\ & t<0 \quad \rightarrow \quad y(t)=0 \\ & t \geq 0 \quad y(t)=\int_{0}^{t} 9 e^{-4 \tau} \frac{e^{j 7 \tau}-e^{-j 7 \tau}}{2 j} d \tau=\frac{9}{2 j}\left[\int_{0}^{t} e^{-\tau(4-7 j)} d \tau-\int_{0}^{t} e^{-\tau(4+7 j)} d \tau\right] \\ & y(t)= \begin{cases}0 & t<0 \\ \frac{9}{65}\left(7-4 e^{-4 t} \sin (7 t)-7 e^{-4 t} \cos (7 t)\right) & t \geq 0\end{cases} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece a resposta ao impulso e a entrada e pede a saída do sistema. Dados importantes:
  • A resposta impulsiva é h(t)=9 e^{-4 t} \sin(7 t)\,u(t).
  • A entrada é x(t)=u(t).
    O que se pede:
  • Calcular y(t)=(h*x)(t), isto é, a saída do sistema LTI para essa entrada.

Passo 2

Escrevendo a convolução para um sistema LTI:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explicando a integral: \tau é a variável de integração (tempo “deslocado”); o integrando é o produto entre h(\tau) e a entrada avaliada em t-\tau. Aqui temos duas funções com fator u(\cdot), portanto são causais.

Passo 3

Determinar os limites da integral usando a causalidade:
  • Como h(\tau) contém u(\tau), temos h(\tau)=0 para \tau<0.
  • Como x(t-\tau)=u(t-\tau), para um dado t vale x(t-\tau)=1 quando t-\tau\ge 0, isto é, quando \tau\le t; e x(t-\tau)=0 quando \tau>t.
    Assim, o produto h(\tau)x(t-\tau) é não nulo somente quando 0\le\tau\le t. Consequências:
  • Se t<0 não existe \tau com 0\le\tau\le t, logo y(t)=0 para t<0.
  • Se t\ge 0,
y(t)=\int_{0}^{t} 9 e^{-4\tau}\sin(7\tau)\,d\tau.

Passo 4

Agora precisamos calcular
I(t)=\int_{0}^{t} e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau
com a=-4 e b=7. Vou derivar a fórmula genérica (método por partes duas vezes), porque é muito útil e dá para fazer à mão na prova.
Seja I=\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau.
Fazendo integração por partes uma vez, com u=\sin(b\tau) e dv=e^{a\tau}d\tau:
I=\frac{e^{a\tau}\sin(b\tau)}{a}-\frac{b}{a}\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau.
Chame J=\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau. Fazer integração por partes em J (com u=\cos(b\tau), dv=e^{a\tau}d\tau) dá:
J=\frac{e^{a\tau}\cos(b\tau)}{a}+\frac{b}{a}\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau =\frac{e^{a\tau}\cos(b\tau)}{a}+\frac{b}{a}I.
Substituindo J na expressão de I:
I=\frac{e^{a\tau}\sin(b\tau)}{a}-\frac{b}{a}\left(\frac{e^{a\tau}\cos(b\tau)}{a}+\frac{b}{a}I\right).
Isolando I:
I\left(1+\frac{b^{2}}{a^{2}}\right) = e^{a\tau}\!\left(\frac{\sin(b\tau)}{a}-\frac{b\cos(b\tau)}{a^{2}}\right).
Multiplicando por a^{2} e reorganizando, obtemos a fórmula conhecida
I=\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau = \frac{e^{a\tau}\bigl(a\sin(b\tau)-b\cos(b\tau)\bigr)}{a^{2}+b^{2}} + C.

Passo 5

Aplicando a fórmula com a=-4 e b=7:
\int e^{-4\tau}\sin(7\tau)\,d\tau = \frac{e^{-4\tau}\bigl(-4\sin(7\tau)-7\cos(7\tau)\bigr)}{(-4)^{2}+7^{2}} + C = \frac{e^{-4\tau}\bigl(-4\sin(7\tau)-7\cos(7\tau)\bigr)}{65} + C.
Agora fazemos a integral definida de 0 a t:
\int_{0}^{t} e^{-4\tau}\sin(7\tau)\,d\tau = \left.\frac{e^{-4\tau}\bigl(-4\sin(7\tau)-7\cos(7\tau)\bigr)}{65}\right|_{0}^{t}.
Avaliar nos limites:
  • Em \tau=t: \dfrac{e^{-4t}\bigl(-4\sin(7t)-7\cos(7t)\bigr)}{65}.
  • Em \tau=0: \dfrac{1\cdot\bigl(-4\cdot 0 -7\cdot 1\bigr)}{65}=\dfrac{-7}{65}.
    Subtraindo,
\int_{0}^{t} e^{-4\tau}\sin(7\tau)\,d\tau = \frac{-4 e^{-4t}\sin(7t)-7 e^{-4t}\cos(7t)+7}{65}.

Passo 6

Lembrando o fator 9 que estava fora da integral em y(t), multiplicamos por 9:
y(t)=9\int_{0}^{t} e^{-4\tau}\sin(7\tau)\,d\tau = \frac{9}{65}\Bigl(7-4 e^{-4t}\sin(7t)-7 e^{-4t}\cos(7t)\Bigr), \qquad t\ge 0.
E já tínhamos y(t)=0 para t<0.

Resposta

y(t)=0 para t<0\
y(t)=\dfrac{9}{65}\bigl(7-4 e^{-4t}\sin(7t)-7 e^{-4t}\cos(7t)\bigr) para t\ge 0

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