Explicando a integral: \tau é a variável de integração (tempo “deslocado”); o integrando é o produto entre h(\tau) e a entrada avaliada em t-\tau. Aqui temos duas funções com fator u(\cdot), portanto são causais.
Passo 3
Determinar os limites da integral usando a causalidade:
Como h(\tau) contém u(\tau), temos h(\tau)=0 para \tau<0.
Como x(t-\tau)=u(t-\tau), para um dado t vale x(t-\tau)=1 quando t-\tau\ge 0, isto é, quando \tau\le t; e x(t-\tau)=0 quando \tau>t.
Assim, o produto h(\tau)x(t-\tau) é não nulo somente quando 0\le\tau\le t. Consequências:
Se t<0 não existe \tau com 0\le\tau\le t, logo y(t)=0 para t<0.
Se t\ge 0,
y(t)=\int_{0}^{t} 9 e^{-4\tau}\sin(7\tau)\,d\tau.
Passo 4
Agora precisamos calcular
I(t)=\int_{0}^{t} e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau
com a=-4 e b=7. Vou derivar a fórmula genérica (método por partes duas vezes), porque é muito útil e dá para fazer à mão na prova.
Seja I=\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau.
Fazendo integração por partes uma vez, com u=\sin(b\tau) e dv=e^{a\tau}d\tau:
Multiplicando por a^{2} e reorganizando, obtemos a fórmula conhecida
I=\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau = \frac{e^{a\tau}\bigl(a\sin(b\tau)-b\cos(b\tau)\bigr)}{a^{2}+b^{2}} + C.
Passo 5
Aplicando a fórmula com a=-4 e b=7:
\int e^{-4\tau}\sin(7\tau)\,d\tau = \frac{e^{-4\tau}\bigl(-4\sin(7\tau)-7\cos(7\tau)\bigr)}{(-4)^{2}+7^{2}} + C = \frac{e^{-4\tau}\bigl(-4\sin(7\tau)-7\cos(7\tau)\bigr)}{65} + C.