Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é a recíproca da raiz cúbica de
. - A função está definida para todo
real exceto (pois e não podemos dividir por zero).
O objetivo é encontrar.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função em forma de potência, que é mais fácil de derivar. Lembrando que
e que o inverso corresponde a multiplicar o expoente por
, temos:
Passo 3
Apresentando a regra que vamos usar (regra do expoente/potência):
onde
é qualquer número real (quando a expressão faz sentido) e
é a variável.
Explicação curta e intuitiva: essa regra diz que, ao derivar uma potência de , basta multiplicar pelo expoente
e diminuir 1 no expoente. Por exemplo,
.
Explicação curta e intuitiva: essa regra diz que, ao derivar uma potência de
Passo 4
Aplicando a regra do passo anterior com
:
Agora simplificamos o expoente:
logo
Passo 5
Opcional: escrever a derivada em formas equivalentes e comentar domínio:
Observações finais: a derivada existe para todo
. Como
para
, o sinal de
é sempre negativo, isto é, a função é decrescente em cada ramo
e
.