Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a recíproca da raiz cúbica de x.
  • A função está definida para todo x real exceto x=0 (pois \sqrt[3]{0}=0 e não podemos dividir por zero).
    O objetivo é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função em forma de potência, que é mais fácil de derivar. Lembrando que \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e que o inverso corresponde a multiplicar o expoente por -1, temos:
y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar (regra do expoente/potência):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde n é qualquer número real (quando a expressão faz sentido) e x é a variável.
Explicação curta e intuitiva: essa regra diz que, ao derivar uma potência de x, basta multiplicar pelo expoente n e diminuir 1 no expoente. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x^{1}=2x.

Passo 4

Aplicando a regra do passo anterior com n=-\tfrac{1}{3}:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/3}\bigr)=\left(-\tfrac{1}{3}\right)x^{-1/3-1}.
Agora simplificamos o expoente:
-\,\tfrac{1}{3}-1 = -\,\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{3} = -\,\tfrac{4}{3},
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y'=-\tfrac{1}{3}\,x^{-4/3}.

Passo 5

Opcional: escrever a derivada em formas equivalentes e comentar domínio:
y'=-\tfrac{1}{3}\,x^{-4/3} = -\frac{1}{3\,x^{4/3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}}.
Observações finais: a derivada existe para todo x\neq 0. Como x^{4/3}>0 para x\neq0, o sinal de y' é sempre negativo, isto é, a função é decrescente em cada ramo x>0 e x<0.

Resposta

-\dfrac{1}{3}x^{-4/3}

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