Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
(a) Determine o sinal de saída
para uma entrada da forma.
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (copiei exatamente do problema):
- A resposta ao impulso do sistema LTI é
. - A entrada é
.
O que o problema pede:
(a) Determinar o sinal de saída quando a entrada é
dada acima.
(b) Verificar se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
(a) Determinar o sinal de saída
(b) Verificar se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
Observações úteis extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
- A unidade de passo
vale 1 para e 0 para . Logo pode ser não nula a partir de . - A entrada
é um pulso que vale 1 para e 0 em outros .
Passo 2
Estratégia e fórmula básica necessária (aula rápida e prática sobre convolução):
- Para um sistema LTI a saída é a convolução discreta entre
e :
- Como
somente para (e 0 em outros ), o somatório reduz-se a uma soma finita:
Isto é muito prático na prova: sempre que
for um pulso finito, é mais simples somar valores deslocados de
do que usar a soma infinita.
Passo 3
Escrever explicitamente
e analisar suporte (onde os termos existem):
- Substituindo
temos:
- O fator
força a ser zero se , ou seja, só contribui quando . - Como
também está limitado por , o índice que efetivamente soma é
Passo 4
Determinar os intervalos de
e escrever a soma para cada caso (a soma tem número de termos variável):
- Se
então e não existe com . Portanto para :
- Se
então está entre e , logo e os termos são . O número de termos é . - Se
então e ; então todos os cinco termos aparecem.
Passo 5
Calcular
no caso intermediário
(soma crescente do 0 até
):
- Para
temos
- Faço a mudança de variável
. Quando aparece ; quando aparece . Assim a soma vira
- Usamos a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica: para
,
Aqui
e
. Então
- Como
e , simplificamos para
Passo 6
Calcular
para
(soma completa sobre os cinco termos
):
- Para
temos
- Factor common
: os expoentes vão de (quando ) até (quando ), então
- Usamos a soma geométrica com
:
- Assim
- Novamente
e , então
- Se quiser uma forma decimal aproximada,
, então para
Passo 7
Resumo compacto do
obtido (juntando os casos) e checagens rápidas:
- Relembrando:
para . Para e para temos as fórmulas anteriores. É sempre bom testar limites: por exemplo na fórmula dá . Isso bate com esperado (apenas o termo contribui quando ).
Passo 8
Avaliar BIBO-estabilidade (aula curta sobre o critério):
- Critério: um sistema LTI é BIBO-estável se e somente se
. - Aqui
é não negativa nos índices onde existe, então
- Faço a mudança
(então ):
- Essa é uma soma geométrica infinita com razão
(menor que 1), portanto converge:
- Como a soma absoluta é finita (
), o sistema é BIBO-estável.
Passo 9
Avaliar causalidade (definição e teste direto):
- Definição: um sistema é causal se
para todo (ou seja, saída não depende de futuras entradas). - Aqui
é suportado a partir de (porque o passo unitário é ). Em particular,
- Como existe um índice
com , o sistema NÃO é causal.
Resposta
BIBO-estável: Sim
Causal: Não