Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h[n]=2(0.8)^{n+1} u[n+1]
(a) Determine o sinal de saída y[n] para uma entrada da forma.
x[n]=u[n]-u[n-5]
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (copiei exatamente do problema):
  • A resposta ao impulso do sistema LTI é h[n]=2(0,8)^{\,n+1}\,u[n+1].
  • A entrada é x[n]=u[n]-u[n-5].
O que o problema pede:
(a) Determinar o sinal de saída y[n] quando a entrada é x[n] dada acima.
(b) Verificar se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
Observações úteis extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • A unidade de passo u[n+1] vale 1 para n\ge-1 e 0 para n<-1. Logo h[n] pode ser não nula a partir de n=-1.
  • A entrada x[n]=u[n]-u[n-5] é um pulso que vale 1 para n=0,1,2,3,4 e 0 em outros n.

Passo 2

Estratégia e fórmula básica necessária (aula rápida e prática sobre convolução):
  • Para um sistema LTI a saída é a convolução discreta entre x[n] e h[n]:
y[n]=(h*x)[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]\,h[n-m].
  • Como x[m]=1 somente para m=0,1,2,3,4 (e 0 em outros m), o somatório reduz-se a uma soma finita:
y[n]=\sum_{m=0}^{4} h[n-m].
Isto é muito prático na prova: sempre que x[n] for um pulso finito, é mais simples somar valores deslocados de h do que usar a soma infinita.

Passo 3

Escrever explicitamente h[n-m] e analisar suporte (onde os termos existem):
  • Substituindo h[\cdot] temos:
h[n-m]=2(0,8)^{\,n-m+1}\,u[n-m+1].
  • O fator u[n-m+1] força h[n-m] a ser zero se n-m<-1, ou seja, só contribui quando m\le n+1.
  • Como m também está limitado por 0\le m\le4, o índice m que efetivamente soma é
m=0,1,\dots,\min(4,\;n+1).

Passo 4

Determinar os intervalos de n e escrever a soma para cada caso (a soma tem número de termos variável):
  • Se n<-1 então n+1<0 e não existe m\in\{0,\dots,4\} com m\le n+1. Portanto para n<-1:
y[n]=0.
  • Se -1\le n<3 então n+1 está entre 0 e 3, logo \min(4,n+1)=n+1 e os termos são m=0,\dots,n+1. O número de termos é n+2.
  • Se n\ge 3 então n+1\ge 4 e \min(4,n+1)=4; então todos os cinco termos m=0,\dots,4 aparecem.

Passo 5

Calcular y[n] no caso intermediário -1\le n\le 2 (soma crescente do 0 até n+1):
  • Para -1\le n\le 2 temos
y[n]=\sum_{m=0}^{n+1} 2(0,8)^{\,n-m+1}.
  • Faço a mudança de variável j=n-m+1. Quando m=0 aparece j=n+1; quando m=n+1 aparece j=0. Assim a soma vira
y[n]=2\sum_{j=0}^{\,n+1} (0,8)^{\,j}.
  • Usamos a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica: para |r|<1,
\sum_{j=0}^{N} r^{j}=\frac{1-r^{\,N+1}}{1-r}.
Aqui r=0,8 e N=n+1. Então
y[n]=2\cdot\frac{1-(0,8)^{\,n+2}}{1-0,8}.
  • Como 1-0,8=0,2 e \dfrac{2}{0,2}=10, simplificamos para
\boxed{y[n]=10\bigl(1-(0,8)^{\,n+2}\bigr),\quad -1\le n\le 2.}

Passo 6

Calcular y[n] para n\ge 3 (soma completa sobre os cinco termos m=0,\dots,4):
  • Para n\ge 3 temos
y[n]=\sum_{m=0}^{4} 2(0,8)^{\,n-m+1}.
  • Factor common (0,8)^{\,n-3}: os expoentes vão de n+1 (quando m=0) até n-3 (quando m=4), então
\sum_{m=0}^{4} (0,8)^{\,n-m+1}=(0,8)^{\,n-3}\sum_{j=0}^{4}(0,8)^{\,j}.
  • Usamos a soma geométrica com N=4:
\sum_{j=0}^{4}(0,8)^{\,j}=\frac{1-(0,8)^{5}}{1-0,8}.
  • Assim
y[n]=2(0,8)^{\,n-3}\cdot\frac{1-(0,8)^{5}}{1-0,8}.
  • Novamente 1-0,8=0,2 e \dfrac{2}{0,2}=10, então
\boxed{y[n]=10\,(0,8)^{\,n-3}\bigl(1-(0,8)^{5}\bigr),\quad n\ge 3.}
  • Se quiser uma forma decimal aproximada, 1-(0,8)^{5}=0,67232, então para n\ge 3
y[n]\approx 6,7232\,(0,8)^{\,n-3}.

Passo 7

Resumo compacto do y[n] obtido (juntando os casos) e checagens rápidas:
  • Relembrando: y[n]=0 para n<-1. Para -1\le n\le 2 e para n\ge 3 temos as fórmulas anteriores. É sempre bom testar limites: por exemplo n=-1 na fórmula -1\le n\le 2 y[-1]=10(1-(0,8)^{1})=10(1-0,8)=10\cdot0,2=2. Isso bate com y[-1]=h[-1] esperado (apenas o termo m=0 contribui quando n=-1).

Passo 8

Avaliar BIBO-estabilidade (aula curta sobre o critério):
  • Critério: um sistema LTI é BIBO-estável se e somente se \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
  • Aqui h[n]=2(0,8)^{\,n+1}u[n+1] é não negativa nos índices onde existe, então
\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|=\sum_{n=-1}^{\infty} 2(0,8)^{\,n+1}.
  • Faço a mudança k=n+1 (então k=0,1,2,\dots):
\sum_{n=-1}^{\infty} 2(0,8)^{\,n+1}=2\sum_{k=0}^{\infty}(0,8)^{\,k}.
  • Essa é uma soma geométrica infinita com razão 0,8 (menor que 1), portanto converge:
2\sum_{k=0}^{\infty}(0,8)^{\,k}=2\cdot\frac{1}{1-0,8}=2\cdot\frac{1}{0,2}=10.
  • Como a soma absoluta é finita ( 10), o sistema é BIBO-estável.

Passo 9

Avaliar causalidade (definição e teste direto):
  • Definição: um sistema é causal se h[n]=0 para todo n<0 (ou seja, saída não depende de futuras entradas).
  • Aqui h[n] é suportado a partir de n=-1 (porque o passo unitário é u[n+1]). Em particular,
h[-1]=2(0,8)^{\,(-1)+1}u[0]=2(0,8)^{0}\cdot 1=2\neq 0.
  • Como existe um índice n=-1<0 com h[-1]\neq0, o sistema NÃO é causal.

Resposta

y[n]=0,\quad n<-1
y[n]=10\bigl(1-(0,8)^{\,n+2}\bigr),\quad -1\le n\le 2
y[n]=10\,(0,8)^{\,n-3}\bigl(1-(0,8)^{5}\bigr),\quad n\ge 3
BIBO-estável: Sim
Causal: Não

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