Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
y=x^{6}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função \;y=x^{6}\;.
Informações dadas: a função é explicitamente \;y=x^{6}\;. A tarefa é encontrar \dfrac{dy}{dx} (ou y'), a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada (vai ser útil para entender por que a regra do expoente funciona):
\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui f(x)=x^{6}. A ideia é calcular esse limite aplicando f em x+h e em x, subtrair e dividir por h.

Passo 3

Calcular f(x+h)=(x+h)^{6}. Usamos o Teorema Binomial (cada termo tem coeficiente \binom{6}{k}):
(x+h)^{6}=x^{6}+6x^{5}h+15x^{4}h^{2}+20x^{3}h^{3}+15x^{2}h^{4}+6x h^{5}+h^{6}.
Esses números 1,6,15,20,15,6,1 são os binomiais \binom{6}{0},\binom{6}{1},\dots,\binom{6}{6}.

Passo 4

Substituir na definição da derivada e simplificar:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\big(x^{6}+6x^{5}h+15x^{4}h^{2}+20x^{3}h^{3}+15x^{2}h^{4}+6x h^{5}+h^{6}\big)-x^{6}}{h}.
Cancelar x^{6} e dividir por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x^{5}+15x^{4}h+20x^{3}h^{2}+15x^{2}h^{3}+6x h^{4}+h^{5}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Todos os termos que têm fator h vão para zero, sobrando apenas o termo sem h:
\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\big(6x^{5}+15x^{4}h+20x^{3}h^{2}+15x^{2}h^{3}+6x h^{4}+h^{5}\big)=6x^{5}.

Passo 6

Resumo prático (a regra que se usa na prova): para uma potência inteira positiva \;y=x^{n}\; vale a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
No caso \;n=6\; isso dá diretamente \;6x^{5}\;. Essa regra é justamente o que acabamos de demonstrar pelo limite (expansão binomial).

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: se \;y=x^{3}\; então \;y'=3x^{2}\;. Dica para a prova: memorize a regra do expoente e use-a para economizar tempo — só recorra ao limite se precisarem de justificativa ou nos casos em que a função for mais complicada. Força — você consegue!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=6x^{5}

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