Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é explicitamente . A tarefa é encontrar
(ou
), a taxa de variação de
em relação a
.
Informações dadas: a função é explicitamente
Passo 2
Lembrando a definição de derivada (vai ser útil para entender por que a regra do expoente funciona):
Aqui
. A ideia é calcular esse limite aplicando
em
e em
, subtrair e dividir por
.
Passo 3
Calcular
. Usamos o Teorema Binomial (cada termo tem coeficiente
):
Esses números
são os binomiais
.
Passo 4
Substituir na definição da derivada e simplificar:
Cancelar
e dividir por
:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Todos os termos que têm fator
vão para zero, sobrando apenas o termo sem
:
Passo 6
Resumo prático (a regra que se usa na prova): para uma potência inteira positiva
vale a regra do expoente:
No caso
isso dá diretamente
. Essa regra é justamente o que acabamos de demonstrar pelo limite (expansão binomial).
Passo 7
Exemplo rápido para fixar: se
então
. Dica para a prova: memorize a regra do expoente e use-a para economizar tempo — só recorra ao limite se precisarem de justificativa ou nos casos em que a função for mais complicada. Força — você consegue!