Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
(a) Determine o sinal de saída
para uma entrada da forma.
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema LTI com resposta ao impulso
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a saída
quando a entrada é
- (b) Verificar se o sistema é BIBO-estável e se é causal, com justificativas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A entrada
é um pulso retangular unitário que vale para e caso contrário. - A resposta ao impulso
é para (porque está multiplicada por ) e é zero para .
Passo 2
Relembrando a fórmula principal (aula rápida e prática): para um sistema LTI discreto a saída é a convolução entre entrada e resposta ao impulso:
Explicando cada coisa:
- [x[k]) é o valor da entrada no instante
. -
é a resposta ao impulso deslocada para o instante considerando contribuição do pulso em . - A soma corre por todos os
, mas na prática só somamos onde e forem não nulos.
Também explico o formato de
em termos simples:
Isto foi obtido diretamente da definição
liga em
e
desliga a partir de
.]
Passo 3
Aplicando a fórmula da convolução e usando o suporte finito de
:
Como
para
e para
, os termos úteis têm
. Além disso,
quando
(porque
é multiplicado por
). Então a soma efetiva é
mas lembrando a condição
. Portanto os limites reais da soma são
Passo 4
Substituímos
dentro da soma e fatoramos
(uma técnica importante para simplificar séries):
Como
, temos uma soma geométrica padrão
onde escrevi
para abreviar. Assim
Passo 5
Agora escrevemos isso de forma piecewise (mais útil na prova):
- Para
: tanto quanto são nulos ali, logo
- Para
: temos . Então
Essa expressão pode ser simplificada:
, logo
- Para
: temos . Então
Passo 6
Resumo da expressão encontrada (já com interpretação): o pulso de entrada excita o sistema durante
e a saída cresce rapidamente até um valor próximo de
durante esses instantes (porque a soma dos exponenciais acumuladas tende a 2), depois que a entrada cessa (
) a saída decai exponencialmente com a mesma base
, multiplicada por
(constante resultante da soma finite das contribuições passadas).
Para fixar, alguns valores numéricos fáceis:
Esses cálculos mostram o comportamento: subida até quase
e depois decaimento exponencial.
Passo 7
Agora a parte (b) — BIBO-estabilidade.
Teoria rápida e prática: um sistema LTI discreto é BIBO-estável se, e somente se, a resposta ao impulso for absolutamente somável:
Aqui
é não negativa, então
Essa é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
, cuja soma é
que é finita. Logo o sistema é BIBO-estável.
Explicação em palavras: qualquer entrada limitada (|x[n]| ≤ M) convolvida com um h cuja soma absoluta é finita produz uma saída limitada (|y[n]| ≤ M·(soma|h|)). Isso é a razão do critério de estabilidade.
Passo 8
Parte (b) — Causalidade.
Definição prática: um sistema é causal se a saída em tempo
não depende de entradas futuras, o que para um sistema LTI equivale a
para todo
.
No nosso caso
e, por definição do passo unitário
, temos
para todo
. Portanto o sistema é causal.
Resposta
(a)
(b) BIBO-estável: Sim.
Causal: Sim.]
Causal: Sim.]