Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h[n]=0.5^{n} u[n]
(a) Determine o sinal de saída y[n] para uma entrada da forma.
x[n]=u[n]-u[n-10]
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema LTI com resposta ao impulso
h[n]=0{,}5^{n}u[n]
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a saída y[n] quando a entrada é
x[n]=u[n]-u[n-10].
  • (b) Verificar se o sistema é BIBO-estável e se é causal, com justificativas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A entrada x[n]=u[n]-u[n-10] é um pulso retangular unitário que vale 1 para 0\le n\le 9 e 0 caso contrário.
  • A resposta ao impulso h[n] é 0{,}5^{n} para n\ge 0 (porque está multiplicada por u[n]) e é zero para n<0.

Passo 2

Relembrando a fórmula principal (aula rápida e prática): para um sistema LTI discreto a saída é a convolução entre entrada e resposta ao impulso:
y[n] = x[n]*h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Explicando cada coisa:
  • [x[k]) é o valor da entrada no instante k.
  • h[n-k] é a resposta ao impulso deslocada para o instante n considerando contribuição do pulso em k.
  • A soma corre por todos os k, mas na prática só somamos onde x[k] e h[n-k] forem não nulos.
Também explico o formato de x[n] em termos simples:
x[n]=\begin{cases} 1, & 0\le n\le 9,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Isto foi obtido diretamente da definição x[n]=u[n]-u[n-10]\]: \(u[n] liga em n=0 e u[n-10] desliga a partir de n=10.]

Passo 3

Aplicando a fórmula da convolução e usando o suporte finito de x[k]:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Como x[k]=0 para k<0 e para k>9, os termos úteis têm k=0,1,\dots,9. Além disso, h[n-k]=0 quando n-k<0 (porque h é multiplicado por u[\cdot]). Então a soma efetiva é
y[n]=\sum_{k=0}^{9} x[k]\,h[n-k],
mas lembrando a condição h[n-k]\neq 0 \Leftrightarrow k\le n. Portanto os limites reais da soma são
y[n]=\sum_{k=0}^{\min(9,n)} h[n-k].

Passo 4

Substituímos h[n-k]=0{,}5^{\,n-k} dentro da soma e fatoramos 0{,}5^{n} (uma técnica importante para simplificar séries):
y[n]=\sum_{k=0}^{\min(9,n)} 0{,}5^{\,n-k} =0{,}5^{\,n}\sum_{k=0}^{\min(9,n)} (0{,}5)^{-k}.
Como (0{,}5)^{-k}=2^{k}, temos uma soma geométrica padrão
\sum_{k=0}^{m} 2^{k} = \frac{2^{m+1}-1}{2-1}=2^{m+1}-1,
onde escrevi m=\min(9,n) para abreviar. Assim
y[n]=0{,}5^{\,n}\bigl(2^{\,\min(9,n)+1}-1\bigr).

Passo 5

Agora escrevemos isso de forma piecewise (mais útil na prova):
  • Para n<0: tanto x quanto h são nulos ali, logo
y[n]=0\quad (n<0).
  • Para 0\le n\le 9: temos \min(9,n)=n. Então
y[n]=0{,}5^{\,n}\bigl(2^{\,n+1}-1\bigr).
Essa expressão pode ser simplificada: 0{,}5^{\,n}2^{\,n+1}=2, logo
y[n]=2-0{,}5^{\,n}\quad (0\le n\le 9).
  • Para n\ge 10: temos \min(9,n)=9. Então
y[n]=0{,}5^{\,n}\bigl(2^{10}-1\bigr)=0{,}5^{\,n}\cdot 1023 \quad (n\ge 10).

Passo 6

Resumo da expressão encontrada (já com interpretação): o pulso de entrada excita o sistema durante 0\le n\le 9 e a saída cresce rapidamente até um valor próximo de 2 durante esses instantes (porque a soma dos exponenciais acumuladas tende a 2), depois que a entrada cessa ( n\ge 10) a saída decai exponencialmente com a mesma base 0{,}5, multiplicada por 1023 (constante resultante da soma finite das contribuições passadas).
Para fixar, alguns valores numéricos fáceis:
y[0]=2-0{,}5^{0}=2-1=1,
y[1]=2-0{,}5=1{,}5,
y[9]=2-0{,}5^{9}=2-2^{-9}=2-\tfrac{1}{512}\approx1{,}99805,
y[10]=1023\cdot 0{,}5^{10}=1023\cdot 2^{-10}=1023/1024\approx0{,}9990.
Esses cálculos mostram o comportamento: subida até quase 2 e depois decaimento exponencial.

Passo 7

Agora a parte (b) — BIBO-estabilidade.
Teoria rápida e prática: um sistema LTI discreto é BIBO-estável se, e somente se, a resposta ao impulso for absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Aqui h[n]=0{,}5^{n}u[n] é não negativa, então
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \sum_{n=0}^{\infty} 0{,}5^{n}.
Essa é uma série geométrica com primeiro termo 1 e razão 0{,}5, cuja soma é
\sum_{n=0}^{\infty} 0{,}5^{n}=\frac{1}{1-0{,}5}=2,
que é finita. Logo o sistema é BIBO-estável.
Explicação em palavras: qualquer entrada limitada (|x[n]| ≤ M) convolvida com um h cuja soma absoluta é finita produz uma saída limitada (|y[n]| ≤ M·(soma|h|)). Isso é a razão do critério de estabilidade.

Passo 8

Parte (b) — Causalidade.
Definição prática: um sistema é causal se a saída em tempo n não depende de entradas futuras, o que para um sistema LTI equivale a h[n]=0 para todo n<0.
No nosso caso h[n]=0{,}5^{n}u[n] e, por definição do passo unitário u[n], temos h[n]=0 para todo n<0. Portanto o sistema é causal.

Resposta

(a) y[n]=\begin{cases} 0, & n<0,\\[4pt] 2-0{,}5^{\,n}, & 0\le n\le 9,\\[4pt] 1023\cdot 0{,}5^{\,n}, & n\ge 10. \end{cases}
(b) BIBO-estável: Sim.
Causal: Sim.]

Exercícios relacionados