Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h[n]=u[n+10]-2 u[n]+u[n-4]
(a) Determine o sinal de saída y[n] para uma entrada da forma.
x[n]=u[n-2]
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá:
A resposta ao impulso do sistema:
h[n]=u[n+10]-2\,u[n]+u[n-4].
A entrada:
x[n]=u[n-2].
O que é pedido:
(a) Determinar o sinal de saída [y[n]) quando a entrada é x[n]=u[n-2].
(b) Avaliar se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando as respostas.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
u[n] é o degrau unitário discreto, isto é (,u[n]=\begin{cases}1,&n\ge0,\\\ 0,&n<0.\end{cases}]
O sistema é LTI (linear e invariante no tempo), então a saída é dada por convolução:
Ideia prática para fazer (a) sem somar infinito a toa: usar linearidade para decompor a convolução em três convoluções menores. Vou explicar e provar uma fórmula útil para convolução de dois degraus deslocados — isso vai facilitar muito os cálculos.
Propriedade útil (e sua dedução): sejam s_a[n]=u[n-a]\) e \(s_b[n]=u[n-b]\). Então
\[(s_a * s_b)[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}u[m-a]\,u[n-m-b].
Note que u[m-a]=1 quando m\ge a, e u[n-m-b]=1 quando m\le n-b. Logo os índices m que contribuem são
m=a, a+1,\dots,n-b,
desde que n-b\ge a. O número de termos é (n-b)-a+1=n-(a+b)+1. Assim obtemos a fórmula prática:
(Fica intuitivo: começamos com uma rampa, depois ela se inverte, e por fim a soma das rampas gera uma constante.)]
Passo 5
Checagem rápida por alguns valores pontuais (só para ganhar confiança):
Em n=-8: y[-8]=(-8)+9=1.
Em n=2: usar intervalo 2\le n<6 dá y[2]=-2+11=9. Pela continuidade das fórmulas nos pontos de mudança as contas batem (pode verificar substituindo na expressão anterior que também dá 9).
Em n=6: fórmula final dá y[6]=6. Pela fórmula do intervalo anterior y[6] já é 6 (verificando limites à direita/à esquerda também consistente).
Passo 6
Agora (b) Estabilidade BIBO.
Definição prática para sistemas LTI: o sistema é BIBO-estável se e somente se a resposta ao impulso é absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Vou simplificar h[n] explicitando seus valores usando os degraus:
Para n< -10: u[n+10]=0, u[n]=0, u[n-4]=0 ⇒ h[n]=0.
Para -10\le n<0: u[n+10]=1, u[n]=0, u[n-4]=0 ⇒ h[n]=1.
Para 0\le n<4: u[n+10]=1, u[n]=1, u[n-4]=0 ⇒ h[n]=1-2=-1.
Para n\ge4: u[n+10]=1, u[n]=1, u[n-4]=1 ⇒ h[n]=1-2+1=0.
Logo h[n] tem suporte finito: é 1 em n=-10,-9,\dots,-1 (10 amostras) e é -1 em n=0,1,2,3 (4 amostras). Fora desses índices h[n]=0. Assim
Como a soma absoluta é finita, o sistema é BIBO-estável.
Passo 7
Agora causalidade.
Definição prática para LTI: o sistema é causal se e somente se h[n]=0 para todo n<0. Isso significa que a resposta ao impulso não pode começar antes de n=0 (não pode depender do futuro do sinal de entrada).
No nosso caso, conforme identificado no passo anterior, h[n]=1 para n=-10,-9,\dots,-1. Em particular h[-10]=1\neq 0. Portanto h[n] não é zero para alguns n<0. Conclusão: o sistema é não-causal (ou seja, não é causal). Em termos intuitivos: o sistema “responde” antes do tempo zero, então exigiria conhecimento futuro da entrada.