Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
y=2 \sqrt{x}+3 \sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y=2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}.
  • É pedido: encontrar y', a derivada de y em relação a x.
  • Observação sobre domínios: a raiz quadrada \sqrt{x} exige x\ge 0. A raíz cúbica \sqrt[3]{x} está definida para todo x. Portanto a função y está definida para x\ge 0.

Passo 2

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de um jeito direto):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
Isto significa que posso derivar cada termo separadamente e somar os resultados.
  • Regra da constante multiplicativa: uma constante pode sair da operação de derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot \frac{d}{dx}f(x),
onde c é constante. Então, por exemplo, a constante 2 na frente de \sqrt{x} fica multiplicando a derivada de \sqrt{x}.

Passo 3

Regra do expoente (regra do poder), que é a mais importante aqui:
  • Para qualquer expoente real n (quando faz sentido para x), vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa: se uma função é uma potência x^{n}, a derivada é o expoente n multiplicando x elevado a n-1.
Exemplo simples: se f(x)=x^{3} então f'(x)=3x^{2}.
No caso de expoentes fracionários, como n=\tfrac{1}{2} ou n=\tfrac{1}{3}, a fórmula continua válida desde que x>0 para que as potências fracionárias estejam bem definidas como números reais.

Passo 4

Reescrever as raízes como potências facilita aplicar a regra do expoente:
  • \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
    Assim a função fica
y=2x^{1/2}+3x^{1/3}.

Passo 5

Aplicar as regras (soma, constante multiplicativa e regra do expoente) termo a termo.
Primeiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) =2\cdot\left(\tfrac{1}{2}x^{1/2-1}\right) =2\cdot\left(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right).
Segundo termo:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{1/3}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr) =3\cdot\left(\tfrac{1}{3}x^{1/3-1}\right) =3\cdot\left(\tfrac{1}{3}x^{-2/3}\right).

Passo 6

Simplificar os coeficientes:
2\cdot\left(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right)=x^{-1/2}, \qquad 3\cdot\left(\tfrac{1}{3}x^{-2/3}\right)=x^{-2/3}.
Portanto a derivada é
y'=x^{-1/2}+x^{-2/3}.

Passo 7

Escrever a resposta em formas equivalentes mais familiars com radicais:
  • Usando raízes,
y'=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
  • Observação sobre domínio da derivada: como a função original exige x\ge 0 (pela raiz quadrada), só faz sentido considerar y' para x>0. Em x=0 a derivada não existe (os termos envolvem potências negativas que divergem em 0).

Resposta

\displaystyle y'=x^{-1/2}+x^{-2/3}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}

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