Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - É pedido: encontrar
, a derivada de em relação a . - Observação sobre domínios: a raiz quadrada
exige . A raíz cúbica está definida para todo . Portanto a função está definida para .
Passo 2
Regras de derivação que vamos usar (explicadas de um jeito direto):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
Isto significa que posso derivar cada termo separadamente e somar os resultados.
- Regra da constante multiplicativa: uma constante pode sair da operação de derivada:
onde
é constante. Então, por exemplo, a constante
na frente de
fica multiplicando a derivada de
.
Passo 3
Regra do expoente (regra do poder), que é a mais importante aqui:
- Para qualquer expoente real
(quando faz sentido para ), vale
O que isso significa: se uma função é uma potência
, a derivada é o expoente
multiplicando
elevado a
.
Exemplo simples: se então
.
No caso de expoentes fracionários, como ou
, a fórmula continua válida desde que
para que as potências fracionárias estejam bem definidas como números reais.
Exemplo simples: se
No caso de expoentes fracionários, como
Passo 4
Reescrever as raízes como potências facilita aplicar a regra do expoente:
-
. -
.
Assim a função fica
Passo 5
Aplicar as regras (soma, constante multiplicativa e regra do expoente) termo a termo.
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 6
Simplificar os coeficientes:
Portanto a derivada é
Passo 7
Escrever a resposta em formas equivalentes mais familiars com radicais:
- Usando raízes,
- Observação sobre domínio da derivada: como a função original exige
(pela raiz quadrada), só faz sentido considerar para . Em a derivada não existe (os termos envolvem potências negativas que divergem em ).