Calcule a derivada de cada uma das funções por limites:
f(x)=5 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=5x+1 e pede para calcular a derivada usando a definição por limites.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=5x+1.
  • Quer-se f'(x) obtida através do limite do quociente de diferença (definição de derivada).

Passo 2

Definição de derivada (a fórmula que vamos usar):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando a fórmula de forma simples: h é um pequeno aumento em x. A expressão f(x+h)-f(x) é quanto a função varia quando x aumenta em h. O quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a razão dessa variação — a inclinação da reta secante que liga os pontos (x,f(x)) e (x+h,f(x+h)). Tomando o limite quando h\to0 obtemos a inclinação da reta tangente em x, que é a derivada.

Passo 3

Calcular f(x+h) substituindo x+h na função:
f(x+h)=5(x+h)+1.
Efetuando a distributiva:
f(x+h)=5x+5h+1.

Passo 4

Calcular a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=(5x+5h+1)-(5x+1).
Cancelando termos iguais:
f(x+h)-f(x)=5h.

Passo 5

Formar o quociente de diferença e simplificar antes de aplicar o limite:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{5h}{h}=5\quad\text{(para }h\neq 0\text{)}.
Agora tomar o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}5=5.
Portanto a derivada existe para todo x e é a constante 5.

Passo 6

Interpretação prática e dica para a prova: para uma função linear da forma ax+b, a derivada é sempre a constante a — porque a inclinação da reta é a. Aqui a=5, então f'(x)=5. Isso é útil para responder rápido quando a função for linear.

Resposta

f'(x)=5

Exercícios relacionados