Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h[n]=3(0.1)^{n} u[n]
(a) Determine o sinal de saída y[n] para uma entrada da forma.
x[n]=2(0.5)^{n}(u[n]-u[n-7])
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • A resposta ao impulso é \;h[n]=3(0.1)^{n}u[n]\;.
    • A entrada é \;x[n]=2(0.5)^{n}\bigl(u[n]-u[n-7]\bigr)\;.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar o sinal de saída y[n] do sistema LTI, isto é, calcular a convolução \;y[n]=h[n]*x[n]\;.
    (b) Dizer se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
Observações úteis extraídas dos dados:
  • A função unit step u[n] vale 1 para n\ge 0 e 0 para n<0.
  • Pela forma de x[n], a entrada é não nula apenas para 0\le n\le 6 (pois u[n]-u[n-7] é 1 nesses índices e 0 fora).
  • A resposta ao impulso h[n] é causal (zero para n<0) e decai geometricamente com razão 0,1.

Passo 2

Recordando a fórmula da saída de um sistema LTI em tempo discreto: a saída é a convolução entre h[n] e x[n],
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].
Vou analisar os suportes (onde cada sequência é não nula) para simplificar os limites da soma.
  • h[k]=0 para k<0 (porque tem u[k]). Então só há termos com k\ge 0.
  • x[n-k] é não nulo apenas quando 0\le n-k\le 6, ou seja quando n-6\le k\le n.
Combinando:
  • Os índices k que contribuem satisfazem simultaneamente k\ge 0 e n-6\le k\le n.
  • Portanto o somatório reduz-se a
y[n]=\sum_{k=\max(0,n-6)}^{n} h[k]\,x[n-k].
Isto é exato para todo inteiro n; se a faixa ficar vazia (por exemplo n<0), o somatório é vazio e y[n]=0.

Passo 3

Agora substituo as expressões de h e x dentro da soma. Para os índices que interessam:
h[k]=3(0.1)^k,\qquad x[n-k]=2(0.5)^{\,n-k}.
Então
y[n]=\sum_{k=\max(0,n-6)}^{n} 3(0.1)^k\cdot 2(0.5)^{\,n-k}.
Factorizando os fatores que não dependem de k:
y[n]=6\,(0.5)^{n}\sum_{k=\max(0,n-6)}^{n}\left(\frac{0.1}{0.5}\right)^{k}.
Note que \dfrac{0.1}{0.5}=0{,}2. Chamando r=0{,}2, obtemos
y[n]=6\,(0.5)^{n}\sum_{k=\max(0,n-6)}^{n} r^{k}.

Passo 4

A soma é uma soma geométrica truncada. A soma de potências r^{k} de k=L até k=U (com r\neq 1) vale
\sum_{k=L}^{U} r^{k}=r^{L}\,\frac{1-r^{U-L+1}}{1-r}.
Aplicando isso com L=\max(0,n-6) e U=n e lembrando r=0{,}2, temos
\sum_{k=\max(0,n-6)}^{n} r^{k}=r^{\max(0,n-6)}\frac{1-r^{\,n-\max(0,n-6)+1}}{1-r}.
Logo,
y[n]=6\,(0.5)^{n}\,r^{\max(0,n-6)}\frac{1-r^{\,n-\max(0,n-6)+1}}{1-r}.
Isto já é uma forma correta e compacta. Para ficar mais direto para uso em prova, convém escrever em três faixas simples (casos): n<0, 0\le n\le 6 e n\ge 7.

Passo 5

Calcular explicitamente cada faixa.
  1. Para n<0: o conjunto de índices da soma está vazio (não há sobreposição entre h e x), então
y[n]=0\qquad (n<0).
  1. Para 0\le n\le 6: temos \max(0,n-6)=0. Então a soma é de k=0 até k=n, dando
\sum_{k=0}^{n} r^{k}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.
Substituindo em y[n]:
y[n]=6\,(0.5)^{n}\cdot\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.
Lembrando que r=0{,}2 e 1-r=0{,}8, podemos simplificar o fator 6/(1-r):
\frac{6}{1-r}=\frac{6}{0{,}8}=7{,}5.
Portanto, para 0\le n\le 6,
y[n]=7{,}5\,(0.5)^{n}\bigl(1-0{,}2^{\,n+1}\bigr).
  1. Para n\ge 7: temos \max(0,n-6)=n-6. A soma vai de k=n-6 até k=n (tem exatamente 7 termos), e
\sum_{k=n-6}^{n} r^{k}=r^{\,n-6}\cdot\frac{1-r^{7}}{1-r}.
Substituindo em y[n]:
y[n]=6\,(0.5)^{n}\,r^{\,n-6}\cdot\frac{1-r^{7}}{1-r}.
Agrupando as potências: (0.5)^{n}r^{\,n-6}=(0.5)^{n}(0.2)^{n-6}=(0.1)^{n}(0.2)^{-6}. Podemos também simplificar o prefator numérico. Calculando os números relevantes:
(0.2)^{-6}=5^{6}=15625,\qquad \frac{1-r^{7}}{1-r}=\frac{1-0{,}2^{7}}{0{,}8}.
Multiplicando tudo:
\text{constante} \;=\;6\cdot 15625\cdot\frac{1-0{,}2^{7}}{0{,}8}=117186
(esse é o valor numérico exato arredondado para três casas decimais como inteiro pois os termos combinam para um inteiro exato aqui). Assim, para n\ge 7,
y[n]=117186\,(0.1)^{n}.
Observação rápida: esse fator grande aparece porque (0.2)^{-6} é grande, mas ele multiplica (0.1)^{n}, que decai rapidamente, de modo que y[n] é pequeno para valores grandes de n. É fácil checar a continuidade entre os casos n=6 e n=7: com n=6 a fórmula do caso 2 dá y[6]\approx 0{,}117186 e para n=7 a fórmula do caso 3 dá y[7]=117186\cdot 10^{-7}=0{,}0117186, ou seja o decaimento por fator 0{,}1 depois de n\ge 7 é consistente com a estrutura do problema.

Passo 6

Resumo didático do item (a) — interpretação prática:
  • Enquanto existir sobreposição entre a cauda infinita de h[n] e os amostras não nulas de x[n] (isto é, enquanto n\le 6), a saída é combinação das duas exponenciais resultando na expressão com a soma geométrica.
  • Depois que os últimos termos de x deixaram de entrar na soma ( n\ge 7), a saída passa a ser proporcional a h[n] (logo decai geometricamente com razão 0{,}1), porque a soma tem comprimento fixo 7 e a dependência em n fica apenas em h[n].

Passo 7

Agora o item (b): estabilidade BIBO e causalidade — dou as definições e aplico.
  • Definição prática de causalidade para sistemas LTI: o sistema é causal se h[n]=0 para todo n<0. Aqui h[n]=3(0.1)^{n}u[n], que é zero para n<0. Portanto o sistema é causal.
  • Definição prática de BIBO-estabilidade para sistemas LTI discreto: o sistema é BIBO-estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
Calculo a soma para o nosso h[n]:
\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|=\sum_{n=0}^{\infty}3(0.1)^{n}=3\sum_{n=0}^{\infty}(0.1)^{n}.
A soma geométrica \sum_{n=0}^{\infty}a^{n}=\dfrac{1}{1-a} para |a|<1. Aqui a=0{,}1, logo
\sum_{n=0}^{\infty}(0.1)^{n}=\frac{1}{1-0{,}1}=\frac{1}{0{,}9}=\frac{10}{9}.
Multiplicando por 3:
\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|=3\cdot\frac{10}{9}=\frac{10}{3}<\infty.
Como a soma é finita, o sistema é BIBO-estável.

Passo 8

Pequeno reforço intuitivo (motivações para a prova):
  • Causalidade é verificação direta em h[n]: se h[n] tiver fator u[n] ou for zero para n<0 já está provado.
  • BIBO-estabilidade: para exponenciais geométricas com razão |a|<1 a soma absoluta converge; isso é o critério usual. Se a razão fosse \ge 1 haveria instabilidade.

Resposta

(a) y[n]=\begin{cases} 0, & n<0,\\[4pt] 7{,}5\,(0.5)^{n}\bigl(1-0{,}2^{\,n+1}\bigr), & 0\le n\le 6,\\[6pt] 117186\,(0.1)^{n}, & n\ge 7, \end{cases}
(b) BIBO-estável: sim. Causal: sim.]

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