Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
(a) Determine o sinal de saída
para uma entrada da forma.
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- A resposta ao impulso é
. - A entrada é
.
- A resposta ao impulso é
-
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o sinal de saídado sistema LTI, isto é, calcular a convolução .
(b) Dizer se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
Observações úteis extraídas dos dados:
- A função unit step
vale para e para . - Pela forma de
, a entrada é não nula apenas para (pois é 1 nesses índices e 0 fora). - A resposta ao impulso
é causal (zero para ) e decai geometricamente com razão .
Passo 2
Recordando a fórmula da saída de um sistema LTI em tempo discreto: a saída é a convolução entre
e
,
Vou analisar os suportes (onde cada sequência é não nula) para simplificar os limites da soma.
-
para (porque tem ). Então só há termos com . -
é não nulo apenas quando , ou seja quando .
Combinando:
- Os índices
que contribuem satisfazem simultaneamente e . - Portanto o somatório reduz-se a
Isto é exato para todo inteiro
; se a faixa ficar vazia (por exemplo
), o somatório é vazio e
.
Passo 3
Agora substituo as expressões de
e
dentro da soma. Para os índices que interessam:
Então
Factorizando os fatores que não dependem de
:
Note que
. Chamando
, obtemos
Passo 4
A soma é uma soma geométrica truncada. A soma de potências
de
até
(com
) vale
Aplicando isso com
e
e lembrando
, temos
Logo,
Isto já é uma forma correta e compacta. Para ficar mais direto para uso em prova, convém escrever em três faixas simples (casos):
,
e
.
Passo 5
Calcular explicitamente cada faixa.
- Para
: o conjunto de índices da soma está vazio (não há sobreposição entre e ), então
- Para
: temos . Então a soma é de até , dando
Substituindo em
:
Lembrando que
e
, podemos simplificar o fator
:
Portanto, para
,
- Para
: temos . A soma vai de até (tem exatamente 7 termos), e
Substituindo em
:
Agrupando as potências:
. Podemos também simplificar o prefator numérico. Calculando os números relevantes:
Multiplicando tudo:
(esse é o valor numérico exato arredondado para três casas decimais como inteiro pois os termos combinam para um inteiro exato aqui). Assim, para
,
Observação rápida: esse fator grande aparece porque
é grande, mas ele multiplica
, que decai rapidamente, de modo que
é pequeno para valores grandes de
. É fácil checar a continuidade entre os casos
e
: com
a fórmula do caso 2 dá
e para
a fórmula do caso 3 dá
, ou seja o decaimento por fator
depois de
é consistente com a estrutura do problema.
Passo 6
Resumo didático do item (a) — interpretação prática:
- Enquanto existir sobreposição entre a cauda infinita de
e os amostras não nulas de (isto é, enquanto ), a saída é combinação das duas exponenciais resultando na expressão com a soma geométrica. - Depois que os últimos termos de
deixaram de entrar na soma ( ), a saída passa a ser proporcional a (logo decai geometricamente com razão ), porque a soma tem comprimento fixo 7 e a dependência em fica apenas em .
Passo 7
Agora o item (b): estabilidade BIBO e causalidade — dou as definições e aplico.
-
Definição prática de causalidade para sistemas LTI: o sistema é causal se
para todo . Aqui , que é zero para . Portanto o sistema é causal. -
Definição prática de BIBO-estabilidade para sistemas LTI discreto: o sistema é BIBO-estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente somável:
Calculo a soma para o nosso
:
A soma geométrica
para
. Aqui
, logo
Multiplicando por
:
Como a soma é finita, o sistema é BIBO-estável.
Passo 8
Pequeno reforço intuitivo (motivações para a prova):
- Causalidade é verificação direta em
: se tiver fator ou for zero para já está provado. - BIBO-estabilidade: para exponenciais geométricas com razão
a soma absoluta converge; isso é o critério usual. Se a razão fosse haveria instabilidade.
Resposta
(a)
(b) BIBO-estável: sim. Causal: sim.]