Considere um sistema magnético unidimensional de
spins localizados, a temperatura
definido pela Hamiltoniana
onde os parâmetros
e
são positivos e
para qualquer sítio
. Suponha que
seja par e observe que a primeira soma é sobre todos os valores ímpares de
.
a) Obtenha a função de partição canônica e determine a energia interna
. Esboce um gráfico de
contra a temperatura
. Obtenha uma expressão para a entropia por spin
e esboce um gráfico de
contra
.
a) Obtenha a função de partição canônica e determine a energia interna
Passo 1
O enunciado descreve um sistema de
spins em uma dimensão, com interações apenas entre pares
para
ímpar, mais um campo externo
. A Hamiltoniana é
com
,
e
. Como
é par, podemos ver que o sistema se quebra em
bloqueios (pares) independentes. Para resolver, vamos:
- Calcular a função de partição de um único par
. - Obter a partição total
. - Derivar a energia interna por spin
. - Encontrar a entropia por spin
.
Passo 2
Cada par tem variáveis
e energia
A função de partição do par é
Contando os quatro casos:
-
: peso . -
: peso . -
: cada um dá e , peso , mas há 2 configurações.
Logo
Como os
pares são independentes,
Passo 3
A energia interna total é
Então a energia por spin é
onde
Em particular, para
temos
de modo que
Esboço de
versus
(para
):
- Em
,
, logo
.
- Em ,
, logo
.
- Em
Passo 4
A entropia total satisfaz
Por spin:
Substituindo
geral, obtém-se
. Para
:
Esboço de
versus
(para
):
- Em
,
,
e
, daí
- Em
,
,
,
, daí
No meio há um mínimo de
, pois a interação quebra parcialmente a degenerescência.
Resposta
A partição e a energia interna por spin são
Para
:
A entropia por spin é
Para
:
com
em
e em
.