Considere um sistema magnético unidimensional de N spins localizados, a temperatura T definido pela Hamiltoniana
\mathcal{H}=-J \sum_{i=1,3, \ldots, N-1}^{N} \sigma_{i} \sigma_{i+1}-H \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i},
onde os parâmetros J e H são positivos e \sigma= \pm 1 para qualquer sítio i. Suponha que N seja par e observe que a primeira soma é sobre todos os valores ímpares de i.
a) Obtenha a função de partição canônica e determine a energia interna u= u(T, H). Esboce um gráfico de u(T, H=0) contra a temperatura T. Obtenha uma expressão para a entropia por spin s=s(T, H) e esboce um gráfico de s(T, H=0) contra T.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de N spins em uma dimensão, com interações apenas entre pares (i,i+1) para i ímpar, mais um campo externo H. A Hamiltoniana é
\mathcal{H}=-J\sum_{i=1,3,\ldots,N-1}\sigma_i\sigma_{i+1}\;-\;H\sum_{i=1}^N\sigma_i,
com J>0, H>0 e \sigma_i=\pm1. Como N é par, podemos ver que o sistema se quebra em N/2 bloqueios (pares) independentes. Para resolver, vamos:
  1. Calcular a função de partição de um único par Z_2.
  2. Obter a partição total Z=[Z_2]^{N/2}.
  3. Derivar a energia interna por spin u=U/N.
  4. Encontrar a entropia por spin s=S/N.

Passo 2

Cada par tem variáveis \sigma_1,\sigma_2 e energia
E(\sigma_1,\sigma_2)=-J\,\sigma_1\sigma_2\,-\,H(\sigma_1+\sigma_2).
A função de partição do par é
Z_2=\sum_{\sigma_1,\sigma_2=\pm1}e^{-\beta E(\sigma_1,\sigma_2)} =\sum_{\sigma_1,\sigma_2}e^{\beta(J\sigma_1\sigma_2+H(\sigma_1+\sigma_2))}.
Contando os quatro casos:
  • \sigma_1=\sigma_2=+1: peso e^{\beta(J+2H)}.
  • \sigma_1=\sigma_2=-1: peso e^{\beta(J-2H)}.
  • \sigma_1=-\sigma_2: cada um dá \sigma_1\sigma_2=-1 e \sigma_1+\sigma_2=0, peso e^{-\beta J}, mas há 2 configurações.
    Logo
Z_2=e^{\beta(J+2H)}+e^{\beta(J-2H)}+2\,e^{-\beta J}.
Como os N/2 pares são independentes,
Z=\bigl(Z_2\bigr)^{N/2}.

Passo 3

A energia interna total é
U=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} =-\frac{N}{2}\,\frac{1}{Z_2}\,\frac{dZ_2}{d\beta}.
Então a energia por spin é
u=\frac{U}{N} =-\frac{1}{2}\,\frac{Z_2'}{Z_2},
onde
Z_2'=(J+2H)e^{\beta(J+2H)}+(J-2H)e^{\beta(J-2H)}-2J\,e^{-\beta J}.
Em particular, para H=0 temos
Z_2\bigl|_{H=0\!}=2e^{\beta J}+2e^{-\beta J}=4\operatorname{cosh}(\beta J), \quad Z_2'\bigl|_{H=0\!}=4J\operatorname{sinh}(\beta J),
de modo que
u(T,0) =-\frac{1}{2}\,\frac{4J\operatorname{sinh}(\beta J)}{4\operatorname{cosh}(\beta J)} =-\frac{J}{2}\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{J}{kT}\bigr).
Esboço de u versus T (para H=0):
- Em T\to0, \operatorname{tanh}(J/kT)\to1, logo u\to -J/2.
- Em T\to\infty, \operatorname{tanh}(J/kT)\to0, logo u\to0.

Passo 4

A entropia total satisfaz
S=k\bigl(\ln Z+\beta U\bigr).
Por spin:
s=\frac{S}{N} =k\Bigl(\tfrac{1}{N}\ln Z+\beta\,\frac{U}{N}\Bigr) =\frac{k}{2}\ln Z_2+\frac{u}{T}.
Substituindo Z_2 geral, obtém-se s(T,H). Para H=0:
s(T,0) =\frac{k}{2}\ln\bigl(4\operatorname{cosh}(\beta J)\bigr) -\frac{J}{2T}\operatorname{tanh}(\beta J), \quad \beta=\frac1{kT}.
Esboço de s versus T (para H=0):
- Em T\to0, \beta J\to\infty, \ln(4\operatorname{cosh}\beta J)\approx\beta J+\ln4 e \operatorname{tanh}\to1, daí
s\to\frac{k}{2}(\beta J+\ln4)-\frac{J}{2T} =\frac{k}{2}\ln4 =k\ln2.
- Em T\to\infty, \beta J\to0, \operatorname{cosh}\approx1, \operatorname{tanh}\approx0, daí
s\to\frac{k}{2}\ln4=k\ln2.
No meio há um mínimo de s, pois a interação quebra parcialmente a degenerescência.

Resposta

A partição e a energia interna por spin são
Z=\bigl(e^{\beta(J+2H)}+e^{\beta(J-2H)}+2e^{-\beta J}\bigr)^{N/2}, \qquad u(T,H) =-\frac{1}{2}\, \frac{(J+2H)e^{\beta(J+2H)}+(J-2H)e^{\beta(J-2H)}-2J\,e^{-\beta J}} {e^{\beta(J+2H)}+e^{\beta(J-2H)}+2e^{-\beta J}}.
Para H=0:
u(T,0)=-\tfrac{J}{2}\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{J}{kT}\bigr).
A entropia por spin é
s(T,H) =\frac{k}{2}\ln\bigl(e^{\beta(J+2H)}+e^{\beta(J-2H)}+2e^{-\beta J}\bigr) +\frac{u(T,H)}{T}.
Para H=0:
s(T,0) =\frac{k}{2}\ln\bigl(4\operatorname{cosh}(\tfrac{J}{kT})\bigr) -\frac{J}{2T}\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{J}{kT}\bigr),
com s\to k\ln2 em T\to0 e em T\to\infty.

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