Um cristal paramagnético é composto de N íons magnéticos. Quando sujeito a um campo magnético H, cada íon contribui para a energia total com energia \epsilon_{j}=-\alpha j, em que \alpha=g \mu_{B} H, sendo g o fator de Landé, \mu_{B} o magneton de Bohr e j toma os valores -J,-J+1, \ldots, J-1, \mathrm{~J}.
a) Ache a função de partição por partícula \zeta(T, H).
b) Ache a energia livre de Helmholtz F(T, H, N).

Passo 1

O enunciado descreve um cristal paramagnético com N íons independentes. Cada íon tem níveis de energia
\epsilon_{j}=-\alpha\,j,
onde \alpha=g\mu_{B}H e j=-J,-J+1,\dots,J. Queremos (a) a função de partição por partícula \zeta(T,H) e (b) a energia livre de Helmholtz F(T,H,N). Para isso vamos usar a definição de partição de Boltzmann e a relação
F=-k_{B}T\ln Z,
sabendo que Z=\zeta^{N} se os íons são independentes.

Passo 2

A partição por partícula é
\zeta \;=\;\sum_{j=-J}^{J}e^{-\beta\epsilon_{j}} \;=\;\sum_{j=-J}^{J}e^{-\beta(-\alpha j)} \;=\;\sum_{j=-J}^{J}e^{\beta\alpha j}.
Defina
x=\beta\alpha=\frac{g\mu_{B}H}{k_{B}T},
para simplificar a soma.

Passo 3

A soma \sum_{j=-J}^{J}e^{xj} é uma série geométrica com razão r=e^{x}. Usando a fórmula
\sum_{j=-J}^{J}r^{j} =\frac{r^{-J}\bigl(r^{2J+1}-1\bigr)}{r-1} =\frac{r^{J+1/2}-r^{-J-1/2}}{r^{1/2}-r^{-1/2}} =\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl((2J+1)x/2\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(x/2\bigr)},
seguiro que
\zeta(T,H) =\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl((2J+1)\,x/2\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(x/2\bigr)} =\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl((2J+1)\,g\mu_{B}H/(2k_{B}T)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(g\mu_{B}H/(2k_{B}T)\bigr)}.

Passo 4

Como os íons são independentes, a partição total é Z=\zeta^{N}. A energia livre de Helmholtz é
F(T,H,N) =-k_{B}T\ln Z =-k_{B}T\ln\bigl(\zeta^{N}\bigr) =-N\,k_{B}T\ln\!\bigl[\zeta(T,H)\bigr].

Resposta

a)
\zeta(T,H) =\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl((2J+1)\,g\mu_{B}H/(2k_{B}T)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(g\mu_{B}H/(2k_{B}T)\bigr)}.
b)
F(T,H,N) =-N\,k_{B}T \ln\!\biggl[\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl((2J+1)\,g\mu_{B}H/(2k_{B}T)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(g\mu_{B}H/(2k_{B}T)\bigr)}\biggr].

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