Um sistema de N osciladores quânticos localizados e independentes está em contato com um reservatório térmico a temperatura T. Os níveis de energia de cada oscilador são dados por
e_{n}=\hbar \omega_{0}(n+1 / 2), \quad \text { com } \quad n=1,3,5,7, \ldots
Obtenha uma expressão para a energia interna u por oscilador em função da temperatura T. Esboce um gráfico de u contra T. Qual a expressão no limite clássico, isto é, para \hbar \omega_{0} \ll k_{B} T ?

Passo 1

O enunciado descreve N osciladores quânticos independentes em equilíbrio térmico à temperatura T, com níveis de energia
e_{n}=\hbar\omega_{0}\bigl(n+\tfrac12\bigr),
onde n=1,3,5,7,\dots. Para obter a energia interna por oscilador u(T), vamos usar o formalismo da ensemble canônica, calculando a função partição de um oscilador e então extraindo u=-\partial\ln Z/\partial\beta, com \beta=1/(k_{B}T).

Passo 2

Primeiro escrevemos a função partição de um oscilador como soma sobre os níveis permitidos. Como n percorre apenas os ímpares, podemos definir n=2m+1, m=0,1,2,\dots. Então
e_{2m+1} =\hbar\omega_{0}\Bigl((2m+1)+\tfrac12\Bigr) =\hbar\omega_{0}\Bigl(2m+\tfrac32\Bigr).
Logo a função partição é
Z =\sum_{m=0}^{\infty}\exp\bigl[-\beta\,\hbar\omega_{0}(2m+\tfrac32)\bigr] =\exp\bigl(-\tfrac32\beta\hbar\omega_{0}\bigr)\sum_{m=0}^{\infty}\bigl[e^{-2\beta\hbar\omega_{0}}\bigr]^{m}.
Como \sum_{m=0}^\infty x^m=1/(1-x), obtemos
Z =\frac{\exp\bigl(-\tfrac32\beta\hbar\omega_{0}\bigr)} {1-\exp\bigl(-2\beta\hbar\omega_{0}\bigr)}.

Passo 3

A energia interna por oscilador é
u =-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z =-\frac{\partial}{\partial\beta}\Bigl[-\tfrac32\beta\hbar\omega_{0} -\ln\bigl(1-e^{-2\beta\hbar\omega_{0}}\bigr)\Bigr].
Derivando, vem
u =\tfrac32\,\hbar\omega_{0} +\frac{2\,\hbar\omega_{0}\,e^{-2\beta\hbar\omega_{0}}} {1-e^{-2\beta\hbar\omega_{0}}} =\hbar\omega_{0}\Bigl[\tfrac32 +\frac{2}{e^{2\beta\hbar\omega_{0}}-1}\Bigr].

Passo 4

O gráfico de u versus T começa em u(0)=\tfrac32\hbar\omega_{0} (energia de ponto zero mais a primeira camada) e cresce monotonamente, aproximando-se de uma reta de inclinação k_{B} para altas temperaturas. Esboço qualitativo:
\begin{array}{c} u\\\ |\,\bigcdot\\\ | \quad\bigcdot\\\ |\,\quad\bigcdot\\\ |________________ T \end{array}

Passo 5

No limite clássico \hbar\omega_{0}\ll k_{B}T, temos \beta\hbar\omega_{0}\ll1 e
e^{2\beta\hbar\omega_{0}}-1\approx2\beta\hbar\omega_{0}.
Então a fração fica \tfrac{2}{2\beta\hbar\omega_{0}}=1/(\beta\hbar\omega_{0}), e
u \approx\hbar\omega_{0}\Bigl[\tfrac32+\frac{1}{\beta\hbar\omega_{0}}\Bigr] =\tfrac32\hbar\omega_{0}+k_{B}T.
Se desprezarmos apenas a energia de ponto zero (pois na mecânica clássica não há “zero–point”), obtemos
u_{\text{clássica}}\approx k_{B}T.á

Resposta

u(T) =\hbar\omega_{0}\Bigl[\tfrac32+\frac{2}{\exp\bigl(2\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)\bigr)-1}\Bigr].
No limite clássico \hbar\omega_{0}\ll k_{B}T,
u\approx k_{B}T.

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