Um sistema de
osciladores quânticos localizados e independentes está em contato com um reservatório térmico a temperatura
. Os níveis de energia de cada oscilador são dados por
Obtenha uma expressão para a energia interna
por oscilador em função da temperatura
. Esboce um gráfico de
contra
. Qual a expressão no limite clássico, isto é, para
?
Passo 1
O enunciado descreve
osciladores quânticos independentes em equilíbrio térmico à temperatura
, com níveis de energia
onde
. Para obter a energia interna por oscilador
, vamos usar o formalismo da ensemble canônica, calculando a função partição de um oscilador e então extraindo
, com
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a função partição de um oscilador como soma sobre os níveis permitidos. Como
percorre apenas os ímpares, podemos definir
,
. Então
Logo a função partição é
Como
, obtemos
Passo 3
A energia interna por oscilador é
Derivando, vem
Passo 4
O gráfico de
versus
começa em
(energia de ponto zero mais a primeira camada) e cresce monotonamente, aproximando-se de uma reta de inclinação
para altas temperaturas. Esboço qualitativo:
Passo 5
No limite clássico
, temos
e
Então a fração fica
, e
Se desprezarmos apenas a energia de ponto zero (pois na mecânica clássica não há “zero–point”), obtemos
Resposta
No limite clássico
,