Considere um sistema massa-mola com
e
, sujeito a uma força harmônica
. Plote a resposta total do sistema sob as seguintes condições:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema massa–mola com massa
kg e constante elástica
N/m, submetido a uma força externa harmônica
Queremos encontrar (e depois “plotar”) a resposta total
do sistema, dado que em
temos
e
m/s.
Conteúdo: vibração forçada (resposta total = solução homogênea + particular), caso de ressonância ( ). Vamos precisar:
Conteúdo: vibração forçada (resposta total = solução homogênea + particular), caso de ressonância (
- Calcular a frequência natural
. - Montar a EDO
e dividir por . - Resolver homogênea e buscar particular em caso de ressonância.
- Aplicar condições iniciais.
Passo 2
Calcular a frequência natural:
Percebe que a força externa tem
rad/s, ou seja, estamos em ressonância.
Passo 3
Escrevemos a equação do movimento e normalizamos por
:
Passo 4
Solução homogênea (sistema livre):
Passo 5
Como
, usamos forma de particular para ressonância. Sabemos que, quando o forçamento é
, um palpite é
Substituindo na EDO e igualando termos, encontra-se (ou usando fórmula padrão)
Passo 6
Montamos a solução geral e aplicamos condições iniciais:
Em
:
-
⇒ . -
.
Em, ⇒ .
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Resposta
A solução completa é
Para plotar, basta escolher um vetor de tempos (por exemplo em Python com NumPy) e avaliar essa expressão.