Considere um sistema massa-mola com k=4000[N / m] e m=10[kg], sujeito a uma força harmônica F(t)=400 cos (20 t). Plote a resposta total do sistema sob as seguintes condições:
x0=0[m], dotx=10[m / s]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema massa–mola com massa F(t)=400cos(20t) kg e constante elástica N/m, submetido a uma força externa harmônica
Queremos encontrar (e depois “plotar”) a resposta total do sistema, dado que em temos e m/s.
Conteúdo: vibração forçada (resposta total = solução homogênea + particular), caso de ressonância ( ). Vamos precisar:
  • Calcular a frequência natural .
  • Montar a EDO e dividir por .
  • Resolver homogênea e buscar particular em caso de ressonância.
  • Aplicar condições iniciais.

Passo 2

Calcular a frequência natural:
omegan = raizkm = raiz400010 = 20 rad/s
Percebe que a força externa tem rad/s, ou seja, estamos em ressonância.

Passo 3

Escrevemos a equação do movimento e normalizamos por x'' + km,x = F(t)m Longrightarrow x'' + 20^2,x = 40010cos(20t) Longrightarrow x'' + 400,x = 40cos(20t) :

Passo 4

Solução homogênea (sistema livre):
xh(t) = C1cos(20t) + C2sin(20t)

Passo 5

Como xp(t) = tl(Acos(20t)+Bsin(20t)r) , usamos forma de particular para ressonância. Sabemos que, quando o forçamento é xp(t) = 402cdot20;t,sin(20t) = t,sin(20t) , um palpite é
Substituindo na EDO e igualando termos, encontra-se (ou usando fórmula padrão)

Passo 6

Montamos a solução geral e aplicamos condições iniciais:
x(t) = xh + xp = C1cos(20t) + C2sin(20t) + tsin(20t)
Em x(t) = 0,5,sin(20t) + t,sin(20t) = l(t + 0.5r),sin(20t) :
  • .
  • .
    Em , .
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Resposta

A solução completa é
boxedx(t) = l(t + 0.5r),sinl(20,tr) l[ mr]
Para plotar, basta escolher um vetor de tempos (por exemplo em Python com NumPy) e avaliar essa expressão.

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