A água flui de modo estacionário através do joelho redutor, inclinado para cima a 75^circ. A velocidade na entrada é de 2,5 m / s e o diâmetro de entrada é de 6 . A velocidade de saída é de 4 m / s. A pressão na entrada é de 1,4.10^5 Pa. O joelho pesa 2 kg e contém 1 litro de fluido. Calcule a força que deve ser aplicada ao joelho para mantê-lo estático.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos água fluindo de forma constante através de um “joelho redutor” — que é basicamente uma curva em um cano que diminui o diâmetro. Esse joelho está inclinado para cima em um ângulo de 75^circ. Na entrada, a água tem uma velocidade de 2,5 m/s e o diâmetro do cano é de 6 cm. Na saída, a velocidade aumenta para 4 m/s. A pressão na entrada é 1,4 times 10^5 Pa. Além disso, o próprio joelho pesa 2 kg e contém 1 litro de fluido. Precisamos descobrir qual força devemos aplicar no joelho para mantê-lo parado.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de mecânica dos fluidos, como conservação de massa e quantidade de movimento, além de considerar as forças envolvidas no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O diâmetro de entrada é de 6 cm, que corresponde a 0,06 metros. O volume do fluido no joelho é de 1 litro, que é igual a 0,001 m³³. A massa do joelho é 2 kg.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação de massa, que nos diz que a massa que entra deve ser igual à massa que sai. A expressão matemática é:
dotmentrada = dotmsaída í
Onde dotm é a taxa de fluxo de massa. Sabemos que:
dotm = rho cdot A cdot v
rho é a densidade da água ( approx 1000 kg/m³³), A é a área da seção transversal e v é a velocidade.

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal na entrada e na saída. A área de um círculo é dada por:
A = pi d^24
Para a entrada:
Aentrada = pi (0,06)^24 approx 0,002827 m² ²

Passo 5

Agora, aplicando a conservação de massa:
rho cdot Aentrada cdot ventrada = rho cdot Asaída cdot vsaída íí
Podemos cancelar rho dos dois lados:
Aentrada cdot ventrada = Asaída cdot vsaída íí
Assim, podemos encontrar Asaídaí:
Asaída = Aentrada cdot ventradavsaída = 0,002827 cdot 2,54 approx 0,001767 m² íí²

Passo 6

Vamos calcular o diâmetro da saída usando a área encontrada:
Asaída = pi dsaída^24 íí
Resolvendo para dsaídaí:
dsaída = raiz4 Asaídapi = raiz4 cdot 0,001767pi approx 0,0473 m = 4,73 cm íí

Passo 7

Agora, vamos considerar a conservação da quantidade de movimento. A força resultante nas direções x e y deve equilibrar o sistema para que o joelho permaneça estático.
Primeiro, calculamos as componentes das velocidades de entrada e saída nas direções horizontal ( x) e vertical ( y), considerando o ângulo de 75^circ.
ventrada,x = ventrada cos(75^circ) approx 2,5 cdot 0,2588 approx 0,647 m/s
ventrada,y = ventrada sin(75^circ) approx 2,5 cdot 0,9659 approx 2,415 m/s
vsaída,x = vsaída cos(75^circ) approx 4 cdot 0,2588 approx 1,035 m/s íí
vsaída,y = vsaída sin(75^circ) approx 4 cdot 0,9659 approx 3,863 m/s íí

Passo 8

Calculamos a taxa de fluxo de massa:
dotm = rho cdot Aentrada cdot ventrada = 1000 cdot 0,002827 cdot 2,5 = 7,0675 kg/s

Passo 9

A força aplicada deve equilibrar a mudança na quantidade de movimento do fluido e também compensar o peso do joelho e a pressão exercida.
Primeiro, a mudança na quantidade de movimento:
Deí
Deí

Passo 10

Agora, consideramos o peso do joelho e do fluido dentro dele:
O peso total é:
P = (mjoelho + mfluido) cdot g
Onde mfluido = rho cdot V = 1000 cdot 0,001 = 1 kg
P = (2 + 1) cdot 9,81 approx 3 cdot 9,81 = 29,43 N

Passo 11

Também precisamos considerar a diferença de pressão na entrada e na saída. A força devido à pressão é:
Fpressão = Pentrada cdot Aentrada - Psaída cdot Asaída ãíí
Como não foi fornecida a pressão na saída, assumimos que é atmosférica, então Psaída = 0í.
Fpressão = 1,4 times 10^5 cdot 0,002827 approx 396 N ã

Passo 12

Finalmente, a força total que devemos aplicar para manter o joelho estático é a soma de todas essas forças:
Ftotal = Deã
Ftotal = 2,746 + 10,245 + 29,43 + 396 approx 438,42 N

Resposta

A força que deve ser aplicada ao joelho para mantê-lo estático é aproximadamente 438,42 N.

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