A água flui de modo estacionário através do joelho redutor, inclinado para cima a
. A velocidade na entrada é de
e o diâmetro de entrada é de 6 . A velocidade de saída é de
. A pressão na entrada é de
. O joelho pesa 2 kg e contém 1 litro de fluido. Calcule a força que deve ser aplicada ao joelho para mantê-lo estático.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos água fluindo de forma constante através de um “joelho redutor” — que é basicamente uma curva em um cano que diminui o diâmetro. Esse joelho está inclinado para cima em um ângulo de
. Na entrada, a água tem uma velocidade de
e o diâmetro do cano é de 6 cm. Na saída, a velocidade aumenta para
. A pressão na entrada é
. Além disso, o próprio joelho pesa 2 kg e contém 1 litro de fluido. Precisamos descobrir qual força devemos aplicar no joelho para mantê-lo parado.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de mecânica dos fluidos, como conservação de massa e quantidade de movimento, além de considerar as forças envolvidas no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O diâmetro de entrada é de 6 cm, que corresponde a 0,06 metros. O volume do fluido no joelho é de 1 litro, que é igual a
. A massa do joelho é 2 kg.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a conservação de massa, que nos diz que a massa que entra deve ser igual à massa que sai. A expressão matemática é:
Onde
é a taxa de fluxo de massa. Sabemos que:
Passo 4
Vamos calcular a área da seção transversal na entrada e na saída. A área de um círculo é dada por:
Para a entrada:
Passo 5
Agora, aplicando a conservação de massa:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Assim, podemos encontrar
:
Passo 6
Vamos calcular o diâmetro da saída usando a área encontrada:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, vamos considerar a conservação da quantidade de movimento. A força resultante nas direções
e
deve equilibrar o sistema para que o joelho permaneça estático.
Primeiro, calculamos as componentes das velocidades de entrada e saída nas direções horizontal (
) e vertical (
), considerando o ângulo de
.
Passo 8
Calculamos a taxa de fluxo de massa:
Passo 9
A força aplicada deve equilibrar a mudança na quantidade de movimento do fluido e também compensar o peso do joelho e a pressão exercida.
Primeiro, a mudança na quantidade de movimento:
Passo 10
Agora, consideramos o peso do joelho e do fluido dentro dele:
O peso total é:
Onde
Passo 11
Também precisamos considerar a diferença de pressão na entrada e na saída. A força devido à pressão é:
Como não foi fornecida a pressão na saída, assumimos que é atmosférica, então
.
Passo 12
Finalmente, a força total que devemos aplicar para manter o joelho estático é a soma de todas essas forças:
Resposta
A força que deve ser aplicada ao joelho para mantê-lo estático é aproximadamente
.