Considere um sistema massa-mola-amortecedor linear, descrito pela seguinte equação diferencial do movimento:
onde:
- m é a massa
,
- c é o coeficiente de amortecimento (
),
- k é a constante da mola (N/m),
-
é o deslocamento da massa (m),
-
é a força externa aplicada (N).
No instante inicial
:
Suponha os seguintes valores para o sistema:
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
.
(a) Use a Transformada de Laplace para determinar a solução X(s) no domínio de Laplace.
(b) Encontre a solução
no domínio do tempo usando a Transformada Inversa de Laplace.
© Interprete o comportamento do sistema em termos de resposta transitória e estacionária.
No instante inicial
(a) Use a Transformada de Laplace para determinar a solução X(s) no domínio de Laplace.
(b) Encontre a solução
© Interprete o comportamento do sistema em termos de resposta transitória e estacionária.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor linear com parâmetros m=5 kg, c=10 N·s/m, k=20 N/m, excitação F(t)=50 e^{−2t} N e condições iniciais x(0)=0.1 m, ẋ(0)=0. Vamos usar Transformada de Laplace para achar X(s) e depois inverter para x(t).
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace na equação m ẍ(t)+c ẋ(t)+k x(t)=F(t). Usando L{ẍ}=s^2X(s)−s x(0)−ẋ(0) e L{ẋ}=s X(s)−x(0), obtemos: 5[s^2X(s)−s·0.1−0]+10[sX(s)−0.1]+20X(s)=50/(s+2).
Passo 3
Agrupando termos em X(s) e substituindo os valores iniciais: (5s^2+10s+20)X(s)−(0.5s+1)=50/(s+2). Logo
X(s)=\frac{50/(s+2)+0.5s+1}{5s2+10s+20}=\frac{0.5s2+2s+52}{5 igl(s+2 igr) igl(s^2+2s+4 igr)}=\frac{0.1s2+0.4s+10.4}{(s+2)(s2+2s+4)}.
X(s)=\frac{50/(s+2)+0.5s+1}{5s2+10s+20}=\frac{0.5s2+2s+52}{5 igl(s+2 igr) igl(s^2+2s+4 igr)}=\frac{0.1s2+0.4s+10.4}{(s+2)(s2+2s+4)}.
Passo 4
Fazendo frações parciais:
. Igualando numeradores, achamos A=2.5, B=−2.4, C=0.2. Reescrevendo o segundo termo em função de (s+1):
Passo 5
Usando transformadas inversas padrões: L{-1}{1/(s+a)}=e{-a t}, L{-1}{(s+a)/[(s+a)2+b2]}=e{-a t}\cos(bt), L{-1}{b/[(s+a)2+b2]}=e{-a t}\sin(bt). Obtemos:
Passo 6
O sistema é subamortecido (c^2<4mk), logo apresenta resposta transitória oscilatória amortecida com frequência √3≈1.732 rad/s e resposta de partícula forçada que decai como e^{-2t}. Como F(t)→0, o regime permanente tende a x=0.
Resposta
a) X(s)=\displaystyle \frac{2.5}{s+2}-\frac{2.4,(s+1)}{(s+1)2+3}+\frac{2.6}{(s+1)2+3}.
b) x(t)=2.5e{-2t}-2.4e{-t}\cos(\sqrt{3}t)+\frac{2.6}{\sqrt{3}}e^{-t}\sin(\sqrt{3}t).
c) O sistema é subamortecido, mostrando transitório oscilatório amortecido (freq. √3 rad/s) e como a força decai, o regime permanente tende a x=0.
b) x(t)=2.5e{-2t}-2.4e{-t}\cos(\sqrt{3}t)+\frac{2.6}{\sqrt{3}}e^{-t}\sin(\sqrt{3}t).
c) O sistema é subamortecido, mostrando transitório oscilatório amortecido (freq. √3 rad/s) e como a força decai, o regime permanente tende a x=0.