Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
sumn=1^infty n(n+1)(n+2)(n+3)=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar que a série sumn=1^infty n(n+1)(n+2)(n+3) é telescópica e mostrar que sua soma converge para 14. Aqui, vamos trabalhar com séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando somamos, facilitando encontrar a soma total. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais da expressão geral da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Imagine uma série onde, ao somar os termos, partes deles se cancelam umas com as outras, deixando apenas alguns termos no começo e no fim. Isso facilita muito calcular a soma total.
Vamos começar decompondo a fração n(n+1)(n+2)(n+3) em frações parciais. Queremos escrever essa expressão como a soma de termos mais simples que se cancelam na soma da série.
Assumimos que:
n(n+1)(n+2)(n+3) = An+1 + Bn+2 + Cn+3
Vamos encontrar os valores de A, B e C.
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+2)(n+3), obtemos:
n = A(n+2)(n+3) + B(n+1)(n+3) + C(n+1)(n+2)
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos:
n = A(n^2 + 5n + 6) + B(n^2 + 4n + 3) + C(n^2 + 3n + 2)
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Coeficiente de n^2: A + B + C = 0
  • Coeficiente de n: 5A + 4B + 3C = 1
  • Termo constante: 6A + 3B + 2C = 0
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
A = 12, B = -1, C = 12
Portanto, a fração pode ser escrita como:
n(n+1)(n+2)(n+3) = 1/2n+1 - 1n+2 + 1/2n+3

Passo 3

Agora que temos a decomposição em frações parciais, vamos somar os termos da série:
sumn=1^infty ( 1/2n+1 - 1n+2 + 1/2n+3 )
Vamos reescrever a soma separando os termos:
12 sumn=1^infty 1n+1 - sumn=1^infty 1n+2 + 12 sumn=1^infty 1n+3
Agora, mudamos os índices de soma para facilitar o cancelamento:
12 sumk=2^infty 1k - sumk=3^infty 1k + 12 sumk=4^infty 1k
Ao somar esses termos, percebemos que muitos deles se cancelam, deixando apenas alguns termos iniciais:
12 ( 12 + 13 ) - ( 13 ) + 12 ( 0 ) = 14

Resposta

A soma da série converge para 14.

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