Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar que a série
é telescópica e mostrar que sua soma converge para
. Aqui, vamos trabalhar com séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando somamos, facilitando encontrar a soma total. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais da expressão geral da série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Imagine uma série onde, ao somar os termos, partes deles se cancelam umas com as outras, deixando apenas alguns termos no começo e no fim. Isso facilita muito calcular a soma total.
Vamos começar decompondo a fração
em frações parciais. Queremos escrever essa expressão como a soma de termos mais simples que se cancelam na soma da série.
Assumimos que:
Vamos encontrar os valores de
,
e
.
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
Portanto, a fração pode ser escrita como:
Passo 3
Agora que temos a decomposição em frações parciais, vamos somar os termos da série:
Vamos reescrever a soma separando os termos:
Agora, mudamos os índices de soma para facilitar o cancelamento:
Ao somar esses termos, percebemos que muitos deles se cancelam, deixando apenas alguns termos iniciais:
Resposta
A soma da série converge para
.