Considere um sistema massa-mola amortecido \operatorname{com} m=1, k=4 \mathrm{e} \gamma=2. Modele a EDO homogênea associada (sem força externa) e determine se o sistema é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.

Passo 1

O enunciado dá os parâmetros do sistema massa-mola amortecido e pede duas coisas: modelar a equação diferencial ordinária homogênea associada (ou seja, sem força externa) e dizer se o sistema é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.
Dados fornecidos: m=1, k=4 e \gamma=2.
Perguntas a responder:
  1. Qual é a EDO homogênea do sistema?
  2. Qual é a classificação do amortecimento (sub, crítica ou super)?

Passo 2

Como montamos a EDO a partir da física do problema (sem resolver nada ainda)? Vou explicar passo a passo e de maneira bem direta: usar a segunda lei de Newton no movimento vertical/horizontal do bloco ligado à mola com amortecimento viscoso. A soma das forças é m\,x''(t). As forças que atuam são: força elástica da mola que é -k\,x(t) (tende a trazer ao equilíbrio) e a força de amortecimento proporcional à velocidade que é -\gamma\,x'(t). Assim, escrevemos a equação de equilíbrio das forças:
m\,x''(t) + \gamma\,x'(t) + k\,x(t) = 0.
Aqui eu explico cada termo: x(t) é o deslocamento em relação ao equilíbrio; m\,x''(t) é a massa vezes a aceleração; \gamma\,x'(t) é o amortecimento (resistência proporcional à velocidade); k\,x(t) é a força restauradora da mola.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos dados ( m=1, \gamma=2, k=4) na EDO geral. Como m=1, não precisamos dividir nada; a equação fica:
x''(t) + 2\,x'(t) + 4\,x(t) = 0.
Isso é a EDO homogênea que o enunciado pediu.

Passo 4

Como determinamos o tipo de amortecimento? Para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes nós usamos a técnica padrão: proponho uma solução do tipo x(t)=\mathrm{e}^{r t}. Substituindo na EDO obtemos a equação característica (polinomial) em r. Para o caso geral m\,r^2+\gamma\,r+k=0. As raízes r dessa quadrática determinam o comportamento do sistema:
  • se as raízes são reais e distintas ( \Delta>0) -> não há oscilações e chamamos de superamortecido (overdamped);
  • se as raízes são reais e iguais ( \Delta=0) -> amortecimento crítico (criticamente amortecido);
  • se as raízes são complexas conjugadas ( \Delta<0) -> há oscilações amortecidas, ou seja, subamortecido (underdamped).
    Aqui o discriminante apropriado, usando a forma m\,r^2+\gamma\,r+k=0, é
\Delta = \gamma^2 - 4\,m\,k.
Eu explico: \Delta é a quantidade que aparece quando resolvemos a quadrática pela fórmula de Bhaskara; o sinal de \Delta indica se as raízes são reais ou complexas.

Passo 5

Calculemos o discriminante com os números dados:
\Delta = \gamma^2 - 4 m k = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12.
Como \Delta<0, as raízes da equação característica são complexas conjugadas, logo o sistema é subamortecido (há oscilações cuja amplitude decai exponencialmente).

Passo 6

Vamos obter explicitamente as raízes e a solução geral para fixar a ideia e saber como responder numa prova. A fórmula das raízes é
r = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\Delta}}{2m}.
Como \sqrt{\Delta}=\sqrt{-12}= \mathrm{i}\sqrt{12} = \mathrm{i}\,2\sqrt{3}, temos
r = \frac{-2 \pm \mathrm{i}\,2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}.
Para raízes do tipo r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta a solução geral da EDO é
x(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\big(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)\big),
onde C e D são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui \alpha=-1 e \beta=\sqrt{3}, portanto
x(t)=\mathrm{e}^{-t}\big(C\cos(\sqrt{3}\,t)+D\sin(\sqrt{3}\,t)\big).
Interpretação física: a solução oscila com frequência angular amortecida \beta=\sqrt{3} e a envoltória das amplitudes decai como \mathrm{e}^{-t}.

Passo 7

Uma forma alternativa, útil em provas, é usar a razão de amortecimento (damping ratio) \zeta, definida por
\zeta = \frac{\gamma}{2\sqrt{m k}}.
Se \zeta<1 -> subamortecido; \zeta=1 -> crítico; \zeta>1 -> superamortecido. Para os valores dados:
\zeta = \frac{2}{2\sqrt{1\cdot 4}} = \frac{2}{2\cdot 2} = \tfrac{1}{2}=0{,}5<1,
confirmando mais uma vez que o sistema é subamortecido. Dica prática para prova: ou calcula \Delta ou calcula \zeta; ambos chegam à mesma conclusão.

Resposta

x''(t) + 2\,x'(t) + 4\,x(t) = 0
Subamortecido

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