Considere um sistema massa-mola amortecido
. Modele a EDO homogênea associada (sem força externa) e determine se o sistema é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.
Passo 1
O enunciado dá os parâmetros do sistema massa-mola amortecido e pede duas coisas: modelar a equação diferencial ordinária homogênea associada (ou seja, sem força externa) e dizer se o sistema é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.
Dados fornecidos: ,
e
.
Perguntas a responder:
Dados fornecidos:
Perguntas a responder:
- Qual é a EDO homogênea do sistema?
- Qual é a classificação do amortecimento (sub, crítica ou super)?
Passo 2
Como montamos a EDO a partir da física do problema (sem resolver nada ainda)? Vou explicar passo a passo e de maneira bem direta: usar a segunda lei de Newton no movimento vertical/horizontal do bloco ligado à mola com amortecimento viscoso. A soma das forças é
. As forças que atuam são: força elástica da mola que é
(tende a trazer ao equilíbrio) e a força de amortecimento proporcional à velocidade que é
. Assim, escrevemos a equação de equilíbrio das forças:
Aqui eu explico cada termo:
é o deslocamento em relação ao equilíbrio;
é a massa vezes a aceleração;
é o amortecimento (resistência proporcional à velocidade);
é a força restauradora da mola.
Passo 3
Agora substituímos os valores numéricos dados (
,
,
) na EDO geral. Como
, não precisamos dividir nada; a equação fica:
Isso é a EDO homogênea que o enunciado pediu.
Passo 4
Como determinamos o tipo de amortecimento? Para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes nós usamos a técnica padrão: proponho uma solução do tipo
. Substituindo na EDO obtemos a equação característica (polinomial) em
. Para o caso geral
. As raízes
dessa quadrática determinam o comportamento do sistema:
- se as raízes são reais e distintas (
) -> não há oscilações e chamamos de superamortecido (overdamped); - se as raízes são reais e iguais (
) -> amortecimento crítico (criticamente amortecido); - se as raízes são complexas conjugadas (
) -> há oscilações amortecidas, ou seja, subamortecido (underdamped).
Aqui o discriminante apropriado, usando a forma, é
Eu explico:
é a quantidade que aparece quando resolvemos a quadrática pela fórmula de Bhaskara; o sinal de
indica se as raízes são reais ou complexas.
Passo 5
Calculemos o discriminante com os números dados:
Como
, as raízes da equação característica são complexas conjugadas, logo o sistema é subamortecido (há oscilações cuja amplitude decai exponencialmente).
Passo 6
Vamos obter explicitamente as raízes e a solução geral para fixar a ideia e saber como responder numa prova. A fórmula das raízes é
Como
, temos
Para raízes do tipo
a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui
e
, portanto
Interpretação física: a solução oscila com frequência angular amortecida
e a envoltória das amplitudes decai como
.
Passo 7
Uma forma alternativa, útil em provas, é usar a razão de amortecimento (damping ratio)
, definida por
Se
-> subamortecido;
-> crítico;
-> superamortecido. Para os valores dados:
confirmando mais uma vez que o sistema é subamortecido. Dica prática para prova: ou calcula
ou calcula
; ambos chegam à mesma conclusão.
Resposta
Subamortecido