Considere o sistema massa-mola do problema 20, mas com um amortecimento viscoso com coeficiente \gamma=3. Modele o novo problema de valor inicial (EDO + condições iniciais) e discuta o tipo de movimento resultante (subamortecido, criticamente amortecido, superamortecido).

Passo 1

O que o enunciado pede: modelar o sistema massa-mola do problema 20 acrescentando amortecimento viscoso com coeficiente \gamma=3 e discutir que tipo de movimento resulta (subamortecido, criticamente amortecido, superamortecido).
Informações dadas (explicitamente ou que presumimos do problema padrão massa-mola):
\text{- massa: } m\quad(\text{constante positiva}),
\text{- constante da mola: } k\quad(\text{constante positiva}),
\text{- coeficiente de amortecimento viscoso: } \gamma=3,
\text{- condições iniciais (como em muitos problemas): } x(0)=x_0,\quad x'(0)=v_0.çõ
Observação: não foi fornecido numericamente m nem k no enunciado aqui. Vou manter m e k simbólicos e, ao final, mostrar exatamente como a escolha numérica de m e k determina o tipo de movimento.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento (modelo físico e EDO).
Para um amortecimento viscoso linear, a equação do movimento sem força externa é
m\,x''(t)+\gamma\,x'(t)+k\,x(t)=0,
onde:
  • x(t) é o deslocamento da massa em função do tempo t,
  • m é a massa,
  • \gamma é o coeficiente de amortecimento viscoso,
  • k é a constante elástica da mola.
Substituindo \gamma=3 obtemos a EDO do problema:
m\,x''(t)+3\,x'(t)+k\,x(t)=0.
As condições iniciais tipicamente são
x(0)=x_0,\qquad x'(0)=v_0,
portanto o problema de valor inicial (PVI) é
\begin{cases} m\,x''(t)+3\,x'(t)+k\,x(t)=0,\\[4pt] x(0)=x_0,\\[2pt] x'(0)=v_0. \end{cases}]

Passo 3

Método padrão de resolução: equação característica.
Transformamos para resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes propondo soluções do tipo x(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO obtemos a equação característica em r:
m\,r^2+3\,r+k=0.
As raízes r dessa quadrática determinam a forma geral da solução. Vamos estudar o discriminante para classificar o movimento.

Passo 4

Cálculo do discriminante e critério de classificação.
O discriminante da equação característica é
\Delta = 3^2 - 4 m k = 9 - 4 m k.
Interpretação clássica:
  • Se \Delta>0 (duas raízes reais distintas) a solução é combinação de exponenciais reais e o movimento é superamortecido (overdamped): não há oscilações, o retorno ao equilíbrio é lento e monotônico.
  • Se \Delta=0 (raiz real dupla) temos amortecimento crítico (critically damped): retorno ao equilíbrio mais rápido sem oscilações.
  • Se \Delta<0 (raízes complexas conjugadas) temos subamortecido (underdamped): solução exponencial decrescente multiplicada por seno/cosseno — ou seja, oscilações amortecidas.

Passo 5

Expressando as condições em termos de m e k com \gamma=3.
Usando \Delta=9-4mk:
  • Subamortecido (oscilações amortecidas) se
\Delta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 9-4mk<0 \quad\Longleftrightarrow\quad m k>\frac{9}{4}.
  • Criticamente amortecido se
\Delta=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 9-4mk=0 \quad\Longleftrightarrow\quad m k=\frac{9}{4}.
  • Superamortecido se
\Delta>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 9-4mk>0 \quad\Longleftrightarrow\quad m k<\frac{9}{4}.
Essas três desigualdades são a resposta direta para a classificação do movimento em função dos parâmetros m e k.

Passo 6

Formas gerais das soluções em cada caso (útil para a prova: memorize os três formatos).
  1. Se \Delta>0 (superamortecido): as raízes reais distintas são
r_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4mk}}{2m},
e a solução geral é
x(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t},
onde C_1,C_2 são determinados pelas condições iniciais.
  1. Se \Delta=0 (criticamente amortecido): a raiz dupla é
r = \frac{-3}{2m},
e a solução geral é
x(t)=(C_1 + C_2 t)\,e^{r t}.
  1. Se \Delta<0 (subamortecido): escrevemos as raízes como
r = \alpha \pm i\beta,
com
\alpha = \frac{-3}{2m},\qquad \beta = \frac{\sqrt{4mk-9}}{2m},
e a solução real é
x(t)=e^{\alpha t}\bigl(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t)\bigr),
onde A,B são fixados pelas condições iniciais.

Passo 7

Como obter as constantes a partir das condições iniciais (receita passo a passo).
  • Para o caso superamortecido: resolva o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = x_0,\\[4pt] r_1 C_1 + r_2 C_2 = v_0, \end{cases}
obtido impondo [x(0)=x_0) e x'(0)=v_0.
  • Para o caso crítico: da forma x(t)=(C_1+C_2 t)e^{r t} temos
\begin{cases} C_1 = x_0,\\[4pt] C_2 = v_0 - r x_0. \end{cases}
  • Para o caso subamortecido: escrevendo (x(t)=e^{\alpha t}(A\cos\beta t + B\sin\beta t)],
    \begin{cases} A = x_0,\\[4pt] B = \dfrac{v_0 - \alpha x_0}{\beta}. \end{cases}
Essas fórmulas são diretas e fáceis de aplicar na prova sem quase contar com calculadora, desde que você mantenha expressões simbólicas.]

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar a ideia (escolhas numéricas simples).
  • Se m=1 e k=1 então mk=1<\tfrac{9}{4}\Rightarrow superamortecido. O discriminante 9-4=5>0.
  • Se m=1 e k=4 então mk=4>\tfrac{9}{4}\Rightarrow subamortecido. O discriminante 9-16=-7<0.
  • Se m=1 e k=\tfrac{9}{4} então crítico: 9-4\cdot1\cdot\tfrac{9}{4}=0.
Comentário de incentivo: não precisa decorar números estranhos — lembre que o critério sempre vem do sinal de \Delta=\gamma^2-4mk; basta substituir \gamma=3 e comparar mk com \tfrac{9}{4}.

Passo 9

Interpretação física curta (para te ajudar a responder qualitativamente na prova).
  • Se mk é grande (muito inércia ou mola muito rígida), então \Delta<0 e o sistema tende a oscilar antes de cessar — subamortecido. Pense: massa grande + mola forte dá energia para oscilar.
  • Se mk é pequeno (massa pequena ou mola fraca), o amortecimento relativo é dominante e o sistema volta ao equilíbrio sem oscilar — superamortecido.
  • O caso crítico é o limite onde o retorno ao equilíbrio é o mais rápido sem oscilações.

Resposta

\displaystyle\text{PVI: }\begin{cases}m\,x''(t)+3\,x'(t)+k\,x(t)=0,\\[4pt]x(0)=x_0,\;x'(0)=v_0.\end{cases}\n
\displaystyle\text{Classificação:}çã\n
\displaystyle\text{subamortecido if }m k>\tfrac{9}{4}\\ ( \Delta=9-4mk<0),\n
\displaystyle\text{criticamente amortecido if }m k=\tfrac{9}{4}\\ ( \Delta=0),\n
\displaystyle\text{superamortecido if }m k<\tfrac{9}{4}\\ ( \Delta>0).]

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