Um objeto de 0.5 kg está preso a uma mola com constante de mola de
. Não há amortecimento. Se o objeto é deslocado 0.1 m para baixo a partir da posição de equilíbrio e solto com velocidade inicial nula, modele o problema de valor inicial (EDO + condições iniciais) e encontre a equação para a posição do objeto
em função do tempo.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (tudo que o exercício nos dá e o que pede):
Temos um objeto com massa preso a uma mola com constante
. Não há amortecimento. O objeto é deslocado
para baixo a partir da posição de equilíbrio e solto com velocidade inicial nula. O exercício pede: modelar o problema de valor inicial (a EDO e as condições iniciais) e encontrar a equação da posição
em função do tempo.
Observação sobre o sinal: vou escolher o eixo vertical positivo para baixo, medido a partir da posição de equilíbrio. Com essa escolha, a posição inicial é
e a velocidade inicial é
.
Temos um objeto com massa
Observação sobre o sinal: vou escolher o eixo vertical
Passo 2
Montar a equação diferencial pelo equilíbrio de forças (segunda lei de Newton).
Explicação da física/matemática usada: a segunda lei diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. A mola exerce uma força de restauração para cima proporcional ao deslocamento (lei de Hooke). Como escolhemos positivo para baixo, a força da mola é para cima, ou seja,
. A massa tem aceleração
. Portanto a equação escalar é
Explicação da física/matemática usada: a segunda lei diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. A mola exerce uma força de restauração para cima proporcional ao deslocamento (lei de Hooke). Como escolhemos
Aqui:
é a massa (kg),
é a constante da mola (N/m),
é a posição medida a partir do equilíbrio (m) e
é a aceleração (m/s²).
Passo 3
Colocar a EDO na forma padrão dividindo por
. Substituindo os valores numéricos e organizando:
Com
e
temos
logo a EDO fica
Passo 4
Resolver a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Método e razão: equações do tipo descrevem movimento harmônico simples (SHM). A solução geral é combinação linear de senos e cossenos com frequência angular
. Aqui:
Método e razão: equações do tipo
A solução geral é portanto
Explicando as constantes:
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais;
tem unidade rad/s.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
As condições (da Passo 1) são
As condições (da Passo 1) são
Calcule
na solução geral:
logo
Agora a derivada:
Avalia em
:
Como
, segue
Passo 6
Escrever a solução particular com as constantes encontradas e interpretar. Substituindo
e
e
:
Interpretação didática: isso significa que o objeto executa um movimento harmônico simples com amplitude
e frequência angular
. Se quiser o período
(tempo para um ciclo completo),