Um objeto de 0.5 kg está preso a uma mola com constante de mola de 10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Não há amortecimento. Se o objeto é deslocado 0.1 m para baixo a partir da posição de equilíbrio e solto com velocidade inicial nula, modele o problema de valor inicial (EDO + condições iniciais) e encontre a equação para a posição do objeto y(t) em função do tempo.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (tudo que o exercício nos dá e o que pede):
Temos um objeto com massa \;m=0,5\;\text{kg}\; preso a uma mola com constante \;k=10\;\text{N/m}\;. Não há amortecimento. O objeto é deslocado 0,1\;\text{m} para baixo a partir da posição de equilíbrio e solto com velocidade inicial nula. O exercício pede: modelar o problema de valor inicial (a EDO e as condições iniciais) e encontrar a equação da posição \;y(t)\; em função do tempo.
Observação sobre o sinal: vou escolher o eixo vertical \;y\; positivo para baixo, medido a partir da posição de equilíbrio. Com essa escolha, a posição inicial é \;y(0)=0,1\;\text{m} e a velocidade inicial é \;y'(0)=0.

Passo 2

Montar a equação diferencial pelo equilíbrio de forças (segunda lei de Newton).
Explicação da física/matemática usada: a segunda lei diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. A mola exerce uma força de restauração para cima proporcional ao deslocamento (lei de Hooke). Como escolhemos y positivo para baixo, a força da mola é para cima, ou seja, -k y. A massa tem aceleração \;y''(t)\;. Portanto a equação escalar é
m\,y''(t) = -k\,y(t).
Aqui: \;m\; é a massa (kg), \;k\; é a constante da mola (N/m), \;y(t)\; é a posição medida a partir do equilíbrio (m) e \;y''(t)\; é a aceleração (m/s²).

Passo 3

Colocar a EDO na forma padrão dividindo por m. Substituindo os valores numéricos e organizando:
m\,y'' + k\,y = 0
\Rightarrow y'' + \frac{k}{m}\,y = 0.
Com \;k=10\; e \;m=0,5\; temos
\frac{k}{m}=\frac{10}{0,5}=20,
logo a EDO fica
y'' + 20\,y = 0.

Passo 4

Resolver a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Método e razão: equações do tipo \;y''+\omega^2 y=0\; descrevem movimento harmônico simples (SHM). A solução geral é combinação linear de senos e cossenos com frequência angular \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. Aqui:
\omega=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
A solução geral é portanto
y(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t).
Explicando as constantes: C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais; \omega tem unidade rad/s.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
As condições (da Passo 1) são
y(0)=0,1,\qquad y'(0)=0.
Calcule y(0) na solução geral:
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1,
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C_1=0,1.
Agora a derivada:
y'(t) = -C_1\omega\sin(\omega t)+C_2\omega\cos(\omega t).
Avalia em t=0:
y'(0)= -C_1\omega\sin(0)+C_2\omega\cos(0)=0 + C_2\omega = C_2\omega.
Como y'(0)=0, segue
C_2\omega = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.

Passo 6

Escrever a solução particular com as constantes encontradas e interpretar. Substituindo C_1=0,1 e C_2=0 e \omega=2\sqrt{5}:
y(t)=0,1\cos\bigl(2\sqrt{5}\,t\bigr).
Interpretação didática: isso significa que o objeto executa um movimento harmônico simples com amplitude 0,1\;\text{m} e frequência angular 2\sqrt{5}\;\text{rad/s}. Se quiser o período T (tempo para um ciclo completo),
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2\sqrt{5}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}\approx 1,405\;\text{s}.

Resposta

y(t)=0,1\cos\bigl(2\sqrt{5}\,t\bigr)\\ \text{m}

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