Utilize o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para
Encontre a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y=\tan (2 x).

Passo 1

Enunciado e dados: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + 4y = \tan(2x).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea.
  • O termo não homogêneo (forçante) é g(x)=\tan(2x).
  • Devemos fornecer a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
  • Observação importante (vinda do enunciado): \tan(2x) só está definida quando \cos(2x)\neq 0; portanto a solução particular só faz sentido em intervalos onde \cos(2x)\neq 0.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y_h'' + 4y_h = 0.
Para resolver, usamos a equação característica: r^2 + 4 = 0. Suas raízes são r=\pm 2i. Portanto as soluções fundamentais reais são
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Princípio do método de variação dos parâmetros (explicação didática):
  • A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1(x)\) e \(u_2(x)\) são funções a determinar (em vez de constantes). - Para obter uma equação simples para \(u_1'\) e \(u_2'\) impomos a condição auxiliar \[u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,
o que simplifica o cálculo das derivadas.
  • Com isso, ao substituir em y''+4y=g(x) e usar que y_1,y_2 satisfazem a homogênea, obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)=g(x). \end{cases}
  • Esse sistema tem solução em termos do Wronskiano
W(x)=\det\begin{pmatrix}y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2'\end{pmatrix}=y_1y_2'-y_2y_1'.
  • As fórmulas diretas resultantes são
u_1'(x)=-\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)}.
Explicando as variáveis: g(x)\] é a forçante (\(\tan(2x) aqui), y_1,y_2 são as soluções fundamentais da homogênea, e W é o Wronskiano que deve ser não nulo no intervalo considerado.]

Passo 4

Aplicando as fórmulas ao nosso caso:
  • Temos g(x)=\tan(2x), y_1=\cos(2x), y_2=\sin(2x).
  • Calculamos as derivadas
y_1'(x)=-2\sin(2x),\qquad y_2'(x)=2\cos(2x).
  • O Wronskiano é
W(x)=y_1y_2'-y_2y_1'=\cos(2x)\cdot 2\cos(2x)-\sin(2x)\cdot(-2\sin(2x))
\phantom{W(x)}=2\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)=2(\cos^2(2x)+\sin^2(2x))=2.
Portanto W(x)=2 (constante não nula), o que é ótimo — as fórmulas podem ser usadas sem problema.

Passo 5

Calcular u_1' e u_2' usando as fórmulas:
u_1'(x)=-\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)}=-\frac{\tan(2x)\,\sin(2x)}{2},
u_2'(x)=\frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)}=\frac{\tan(2x)\,\cos(2x)}{2}.
Agora simplificamos usando \tan(2x)=\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}:
u_2'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\cdot\cos(2x)=\frac{\sin(2x)}{2}.
E
u_1'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\cdot\sin(2x)=-\frac{\sin^2(2x)}{2\cos(2x)}.
Para integrar u_1' é útil reescrever \dfrac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)}. Usando \sin^2(2x)=1-\cos^2(2x) obtemos
\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)}=\frac{1-\cos^2(2x)}{\cos(2x)}=\operatorname{sec}(2x)-\cos(2x).
Assim
u_1'(x)=-\frac{1}{2}\big(\operatorname{sec}(2x)-\cos(2x)\big)=-\frac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)+\frac{1}{2}\cos(2x).

Passo 6

Integrar u_2'(x) para obter u_2(x). Temos
u_2'(x)=\frac{\sin(2x)}{2}.
Integramos:
u_2(x)=\int \frac{\sin(2x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int \sin(2x)\,dx.
Sabemos que \int \sin(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\cos(2x). Logo
u_2(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)=-\frac{1}{4}\cos(2x).
(Nas integrações do método de variação dos parâmetros omitimos a constante de integração, porque qualquer constante seria absorvida pela solução homogênea.)

Passo 7

Integrar u_1'(x) para obter u_1(x). Lembrando
u_1'(x)=-\frac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)+\frac{1}{2}\cos(2x),
fazemos a integral termo a termo:
u_1(x)=\int\left(-\frac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)+\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\,dx =-\frac{1}{2}\int\operatorname{sec}(2x)\,dx+\frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx.
As integrais conhecidas são \int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x) e \int \operatorname{sec}(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big| (fórmula padrão: \int \operatorname{sec} u\,du=\ln|\operatorname{sec} u+\tan u| e aqui u=2x, du=2dx).
Portanto
u_1(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big|+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x).
Simplificando fatores:
u_1(x)=-\frac{1}{4}\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big|+\frac{1}{4}\sin(2x).

Passo 8

Construir a solução particular y_p pela combinação y_p=u_1y_1+u_2y_2. Substituímos u_1,u_2,y_1,y_2:
y_p(x)=\Big(-\frac{1}{4}\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big|+\frac{1}{4}\sin(2x)\Big)\cos(2x) +\Big(-\frac{1}{4}\cos(2x)\Big)\sin(2x).
Agora simplificamos: os termos com \sin(2x)\cos(2x) se cancelam porque há +\tfrac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x) e -\tfrac{1}{4}\cos(2x)\sin(2x). Portanto sobra apenas o termo com o logaritmo:
y_p(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big|.

Passo 9

Escrever a solução geral y(x) somando a homogênea e a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac{1}{4}\cos(2x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big|.
Lembrete final: esta expressão é válida em qualquer intervalo no qual \cos(2x)\neq 0 (porque \tan(2x) e \operatorname{sec}(2x) aparecem e o problema original não está definido quando \cos(2x)=0). Forneça C_1,C_2 constantes arbitrárias para a solução geral.

Resposta

y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac{1}{4}\cos(2x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big|

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