Utilize o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para
Encontre a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y=\tan (2 x).
Passo 1
Enunciado e dados: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + 4y = \tan(2x).
Informações relevantes que o enunciado dá:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea.
O termo não homogêneo (forçante) é g(x)=\tan(2x).
Devemos fornecer a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Observação importante (vinda do enunciado): \tan(2x) só está definida quando \cos(2x)\neq 0; portanto a solução particular só faz sentido em intervalos onde \cos(2x)\neq 0.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y_h'' + 4y_h = 0.
Para resolver, usamos a equação característica: r^2 + 4 = 0. Suas raízes são r=\pm 2i. Portanto as soluções fundamentais reais são
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Princípio do método de variação dos parâmetros (explicação didática):
A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1(x)\) e \(u_2(x)\) são funções a determinar (em vez de constantes).
- Para obter uma equação simples para \(u_1'\) e \(u_2'\) impomos a condição auxiliar
\[u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,
o que simplifica o cálculo das derivadas.
Com isso, ao substituir em y''+4y=g(x) e usar que y_1,y_2 satisfazem a homogênea, obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
Explicando as variáveis: g(x)\] é a forçante (\(\tan(2x) aqui), y_1,y_2 são as soluções fundamentais da homogênea, e W é o Wronskiano que deve ser não nulo no intervalo considerado.]
(Nas integrações do método de variação dos parâmetros omitimos a constante de integração, porque qualquer constante seria absorvida pela solução homogênea.)
Agora simplificamos: os termos com \sin(2x)\cos(2x) se cancelam porque há +\tfrac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x) e -\tfrac{1}{4}\cos(2x)\sin(2x). Portanto sobra apenas o termo com o logaritmo:
Lembrete final: esta expressão é válida em qualquer intervalo no qual \cos(2x)\neq 0 (porque \tan(2x) e \operatorname{sec}(2x) aparecem e o problema original não está definido quando \cos(2x)=0). Forneça C_1,C_2 constantes arbitrárias para a solução geral.