Considere o sistema massa-mola correspondente à equação diferencial
y^prime prime+b y^prime+0.25 y=0
com x y 0)=12 e y^prime(0)=74 e b>0. Descreva em termos de b os possíveis tipos de amortecimento do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema massa-mola descrito pela equação diferencial
y'' + b,y' + 0,25,y = 0
com condições iniciais y(0)=tfrac12 e y'(0)=tfrac74, e pede que classifiquemos, em função de b>0, os tipos de amortecimento (subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido). O conteúdo necessário é a resolução da equação característica de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a análise do seu discriminante.

Passo 2

Substituímos y=e^rt na EDO para obter a equação característica
r^2 + b,r + 0,25 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação:
De<a = b^2 - 4cdot1cdot0,25 = b^2 - 1

Passo 4

Analisamos o sinal de De<a para classificar o amortecimento:
  • Se De<a > 0, isto é, b^2>1, então as raízes são reais e distintas e o sistema é superamortecido.
  • Se De<a = 0, isto é, b^2=1 (portanto b=1), então as raízes são reais iguais e o sistema é criticamente amortecido.
  • Se De<a < 0, isto é, b^2<1 (portanto 0<b<1), então as raízes são complexas conjugadas e o sistema é subamortecido (oscilatório amortecido).

Resposta

Superamortecido para b>1.
Criticamente amortecido para b=1.
Subamortecido para 0<b<1.

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