Escolha g(y) para que f(x, y)=e^c x g(y) satisfaza as equações:
fy=fx x.

Passo 1

O enunciado pede uma função de duas variáveis
f(x,y)=e^c x,g(y)
que satisfaça a equação em derivadas parciais
fy = fxx
O conteúdo aqui é separar a dependência em x e y e obter uma EDO para g(y).

Passo 2

Vamos calcular cada derivada parcial. Primeiro, derivando em relação a y:
fy = partialpartial yl(e^c x,g(y)r) = e^c x,g'(y)
Em seguida, a segunda derivada em relação a x:
fx = partialpartial xl(e^c x,g(y)r) = c,e^c x,g(y), fxx = partialpartial xl(c,e^c x,g(y)r) = c^2,e^c x,g(y)

Passo 3

A condição fy=fxx leva a
e^c x,g'(y) ;=; c^2,e^c x,g(y)
Como e^c xneq0, simplificamos para a EDO
g'(y) = c^2,g(y)
Essa é uma EDO de coeficientes constantes cuja solução geral é
g(y) = A,e^c^2,y,
onde A é constante de integração.

Resposta

g(y)=A,e^c^2y, em particular, escolhendo A=1,
g(y)=e^c^2y

Exercícios relacionados