Uma massa de 1 / 4 kg é presa a uma mola com constante de rigidez k=4 N / m. Suponha que a constante de amortecimento para o sistema é de 1 N s / m. A massa é deslocada comprimindo a mola 0.5 m e é solta recebendo uma velocidade inicial de 1 m /. Qual é distância máxima que a massa chega a estar da posição de equilibrio?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa–mola amortecido, governed pela equação diferencial
m,x''(t) + c,x'(t) + k,x(t) = 0,
onde m=tfrac14 kg, k=4 N/m e c=1 Ncdot s/m. As condições iniciais são
x(0) = -0,5 m, x'(0)=1 m/s
O objetivo é encontrar a distância máxima em valor absoluto que a massa alcança em relação à posição de equilíbrio.

Passo 2

Calculamos os parâmetros naturais do sistema:
omega0, a frequência natural não amortecida, e alpha, a taxa de amortecimento:
omega0 = raizkm = raiz41/4 = 4 rad/s,
alpha = c2m = 12cdot(1/4) = 2 s^-1
Como alpha<omega0, o regime é subamortecido e a frequência amortecida vale
omegad = raizomega0^2 - alpha^2 = raiz16 - 4 = raiz12 = 2raiz3 rad/s

Passo 3

A solução geral no regime subamortecido é
x(t) = e^-alpha tl(Acos(omegad t) + Bsin(omegad t)r)
Sua derivada é
x'(t)=e^-alpha tl[-alpha(Acosomegad t + Bsinomegad t) - A,omegadsinomegad t + B,omegadcosomegad tr]

Passo 4

Aplicando as condições iniciais em t=0:
x(0)=A = -0,5,
x'(0) = -alpha A + B,omegad = 1 ;Longrightarrow; -2cdot(-0,5) + B,(2raiz3) = 1 ;Longrightarrow; 1 + 2raiz3,B = 1 ;Longrightarrow; B=0

Passo 5

Logo
x(t) = -0,5,e^-2tcos(2raiz3,t)
Os máximos de |x(t)| ocorrem quando cos(2raiz3,t)=pm1, i.e.\ em t=npi2raiz3. O valor em t=0 é
|x(0)| = 0,5 m,
e nos picos seguintes a envoltória decai como 0,5,e^-2t, portanto nunca ultrapassa 0,5 m.

Resposta

A massa nunca vai além de 0,5 m da posição de equilíbrio.

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