Uma massa de
é presa a uma mola com constante de rigidez
. Suponha que a constante de amortecimento para o sistema é de
. A massa é deslocada comprimindo a mola 0.5 m e é solta recebendo uma velocidade inicial de
. Qual é distância máxima que a massa chega a estar da posição de equilibrio?
Passo 1
O enunciado trata de um sistema massa–mola amortecido, governed pela equação diferencial
onde
kg,
N/m e
/m. As condições iniciais são
O objetivo é encontrar a distância máxima em valor absoluto que a massa alcança em relação à posição de equilíbrio.
Passo 2
Calculamos os parâmetros naturais do sistema:
, a frequência natural não amortecida, e
, a taxa de amortecimento:
Como
, o regime é subamortecido e a frequência amortecida vale
Passo 3
A solução geral no regime subamortecido é
Sua derivada é
Passo 4
Aplicando as condições iniciais em
:
Passo 5
Logo
Os máximos de
ocorrem quando
, i.e.\ em
. O valor em
é
e nos picos seguintes a envoltória decai como
, portanto nunca ultrapassa
m.
Resposta
A massa nunca vai além de
m da posição de equilíbrio.