Justifique sua resposta.
O ponto x=1 é um ponto singular da EDO: y^prime prime+(x-1)^5 / 3 y^prime+y=0 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o ponto x=1 é um ponto singular da EDO y''+(x-1)^5/3y'+y=0. O conteúdo envolvido é a classificação de pontos em EDOs lineares de segunda ordem e vamos precisar dos conceitos de ponto ordinário, ponto singular e subclasses (regular ou irregular).

Passo 2

Em EDOs da forma y''+p(x)y'+q(x)y=0, um ponto x0 é ordinário se p e q forem analíticos (expansíveis em série de Taylor) no entorno de x0. Se pelo menos um não for analítico, chamamos x0 de ponto singular. Dentre os singulares, é regular se (x-x0)p(x) e (x-x0)^2q(x) forem analíticos em x0; caso contrário é irregular.

Passo 3

Aqui temos p(x)=(x-1)^5/3 e q(x)=1. O expoente 5/3 em p(x) impede expansão em potências inteiras de x-1, ou seja, p(x) não é analítico em x=1. Portanto x=1 não é ponto ordinário, mas sim ponto singular.

Passo 4

Para ver se é singular regular, olhamos (x-1)p(x)=(x-1)^8/3 e (x-1)^2q(x)=(x-1)^2. Embora (x-1)^2q(x) seja analítico, (x-1)^8/3 continua não sendo analítico em x=1. Logo não satisfaz as condições de ponto singular regular e é, na verdade, um ponto singular irregular.

Resposta

O ponto x=1 é um ponto singular irregular da equação dada.

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