A Equação diferencial
(x-1) y^prime prime+x y^prime+y=0
admite uma solução via série de potências da forma
y(x)=sumk=0^infty ak(x-4)^k
com raio de convergência R=3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a solução em série de potências em torno de x₀=4 para a EDO (x−1)y″+x y′+y=0 tem raio de convergência R=3.

Passo 2

Para uma EDO linear de segunda ordem da forma (x−1)y″+x y′+y=0 podemos escrevê-la na forma padrão y″+P(x)y′+Q(x)y=0, bastando dividir tudo por (x−1). Assim obtemos
y''+xx-1y'+1x-1y=0
Os pontos singulares são onde o coeficiente de y″, isto é (x−1), se anula.

Passo 3

O teorema geral de séries de potências para EDOs diz que o raio de convergência de uma solução em série centrada em x₀ é a distância até o singular mais próximo de x₀.

Passo 4

O único singular finito é x=1, pois x−1=0. A distância de x₀=4 até x=1 é |4−1|=3. Não há outros singulares mais próximos.

Passo 5

Portanto, o raio R da série em torno de x=4 é R=3, exatamente a distância até o ponto singular x=1.

Resposta

Sim. Pelo teorema do ponto singulares de uma EDO linear, o raio de convergência em torno de x₀=4 é a distância até x=1, ou seja R=3.

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