A Equação diferencial
admite uma solução via série de potências da forma
com raio de convergência
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a solução em série de potências em torno de x₀=4 para a EDO (x−1)y″+x y′+y=0 tem raio de convergência R=3.
Passo 2
Para uma EDO linear de segunda ordem da forma (x−1)y″+x y′+y=0 podemos escrevê-la na forma padrão y″+P(x)y′+Q(x)y=0, bastando dividir tudo por (x−1). Assim obtemos
Os pontos singulares são onde o coeficiente de y″, isto é (x−1), se anula.
Passo 3
O teorema geral de séries de potências para EDOs diz que o raio de convergência de uma solução em série centrada em x₀ é a distância até o singular mais próximo de x₀.
Passo 4
O único singular finito é x=1, pois x−1=0. A distância de x₀=4 até x=1 é |4−1|=3. Não há outros singulares mais próximos.
Passo 5
Portanto, o raio R da série em torno de x=4 é R=3, exatamente a distância até o ponto singular x=1.
Resposta
Sim. Pelo teorema do ponto singulares de uma EDO linear, o raio de convergência em torno de x₀=4 é a distância até x=1, ou seja R=3.