Resolva as seguintes EDOs para x in(-1,1).
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(1-x^2)y'' - 2x y' + 2y = 0
em xin(-1,1). Essa é a equação de Legendre de parâmetro n(n+1)=2. Vamos usar esse fato e, se precisar, técnica de redução de ordem.

Passo 2

Procuramos uma primeira solução por inspeção. Testando y1(x)=x, calculamos
y1'=1, y1''=0,
e substituímos na EDO:
(1-x^2)cdot0 - 2xcdot1 + 2x = -2x + 2x = 0
Logo y1(x)=x é solução.

Passo 3

Para achar a segunda solução, trazemos a equação à forma padrão dividindo por (1-x^2):
y'' - 2x1-x^2y' + 21-x^2y = 0
Assim temos p(x) = -tfrac2x1-x^2. Pela redução de ordem,
y2 = y1 integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx

Passo 4

Calculamos
integral p(x),dx = integral -2x1-x^2,dx = ln(1-x^2),
então
e^-integral p(x)dx = 11-x^2
Fica
y2 = x integral 1x^2(1-x^2),dx
Por frações parciais:
integral 1x^2(1-x^2)dx = -1x + 12ln1+x1-x + C
Multiplicando por x e descartando o termo constante (proporcional a y1), obtemos
y2(x)=x2ln1+x1-x - 1

Passo 5

Como y1 e y2 são linearmente independentes, a solução geral é dada pela combinação linear delas.

Resposta

y(x) = C1 x + C2l(tfracx2lntfrac1+x1-x - 1r)

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