Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
u^prime prime+4 u^prime+52 u=0, u(0)=-3, u^prime(0)=42
Encontre a aolução geral da equação diferencial e determine a solução do PVI.
d u(t)=4 e^-2 t cos (4 raiz3 t-7 pi6)
h u(t)=4 e^-2 t cos (4 raiz3 t-2 pi3)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
u'' + 4u' + 52u = 0,
e depois aplicar as condições iniciais
O conteúdo é resolução de EDOs lineares usando a equação característica e, em seguida, ajuste dos constantes via condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 52 = 0
Calculamos o discriminante:
,De
Como De, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 3

Calculamos as raízes:
r = -4 pm iraiz1922 = -2 pm i4raiz3
Assim a solução geral é
u(t) = e^-2tl(C1cos(4raiz3,t) + C2sin(4raiz3,t)r)

Passo 4

Aplicamos u(0)=-3:
u(0) = C1 = -3
Derivando nu(t):
u'(t) = e^-2tl(-2C1cos(4raiz3 t) -2C2sin(4raiz3 t) - C1(4raiz3)sin(4raiz3 t) + C2(4raiz3)cos(4raiz3 t)r)
Em t=0:
u'(0) = -2C1 + 4raiz3,C2 = 42
Substituindo C1=-3:
6 + 4raiz3,C2 = 42 implies 4raiz3,C2 = 36 implies C2 = 364raiz3 = 3raiz3

Passo 5

Logo a solução particular é
u(t) = e^-2tl(-3cos(4raiz3 t) + 3raiz3sin(4raiz3 t)r)
Para escrever em forma de amplitude e fase, calculamos a amplitude
A = raiz(-3)^2 + (3raiz3)^2 = 6
e o desfasamento de tal que
6cosde
Portanto

Passo 6

final_answer

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