Exercício 42 (Bônus, 1 ponto). Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite
usando a fórmula de Taylor. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor de funções hiperbólicas em torno de zero, e vamos precisar das duas primeiras parcelas não nulas de
e
.
Passo 2
Para resolver, lembramos as séries de Taylor em torno de zero:
Passo 3
Agora substituímos essas expansões no quociente. Primeiro note que
Passo 4
Então
Passo 5
Fatorando
de numerador e denominador, obtemos
Passo 6
À medida que
, as parcelas de ordem superior
vão para zero, então o quociente tende a 1.
Portanto, o limite é 1.
Portanto, o limite é 1.
Resposta
1