Exercício 42 (Bônus, 1 ponto). Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 sinh (x)x cosh (x)

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto0sinh(x)xcosh(x) usando a fórmula de Taylor. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor de funções hiperbólicas em torno de zero, e vamos precisar das duas primeiras parcelas não nulas de sinh(x) e cosh(x).

Passo 2

Para resolver, lembramos as séries de Taylor em torno de zero:
sinh(x)=x+x^33!+O(x^5),
cosh(x)=1+x^22!+O(x^4)

Passo 3

Agora substituímos essas expansões no quociente. Primeiro note que
xcosh(x)=xl(1+x^22+O(x^4)r)=x+x^32+O(x^5)

Passo 4

Então
sinh(x)xcosh(x)=x+x^36+O(x^5)x+x^32+O(x^5)

Passo 5

Fatorando x de numerador e denominador, obtemos
sinh(x)xcosh(x)=xl(1+x^26+O(x^4)r)xl(1+x^22+O(x^4)r)=1+x^26+O(x^4)1+x^22+O(x^4)

Passo 6

À medida que xto0, as parcelas de ordem superior O(x^2) vão para zero, então o quociente tende a 1.
Portanto, o limite é 1.

Resposta

1

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