(2,5) Considere um sistema massa-mola formado por um bloco de massa igual a 0 , 1 0 kg e uma mola de constante elástica igual a 4,0 N / m. No instante inicial o bloco está passando pela origem com velocidade de -10 cm / s de sua posição de equilíbrio e solto.
a) (0,5) Calcule o periodo de oscilação do bloco.
b) (1,5) Escreva a função posição do bloco x(t).
c) (0,5) Faça um gráfico da posição em função do tempo. (Basta utilizar um período, indicar o período e a amplitude nos eixos)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um bloco de massa m=0,10 kg preso a uma mola de constante elástica k=4,0 N/m, sem atrito. No instante t=0 o bloco passa pela origem (posição de equilíbrio) com velocidade v(0)=-10 cm/s=-0,10 m/s. Precisamos calcular:
a) período T;
b) função posição x(t);
c) gráfico de x vs.\ t num período.
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS). A mola exerce F=-k,x (Lei de Hooke) e pela 2ª Lei de Newton mddot x=-k,x, ou seja
md^2xdt^2 + k,x = 0,
A solução geral é senoidal:
x(t)=Acos(omega t + varphi)(ou sen),
com frequência angular omega=raiztfrackm e período T=2pi/omega.

Passo 2

Calcular omega e T:
omega=raizkm =raiz4,00,10 =raiz40approx6,32 s^-1,
T=2piomega approx2pi6,32approx0,99 s

Passo 3

Determinar amplitude A e fase varphi pelas condições iniciais x(0)=0 e v(0)=-0,10 m/s.
Escolhemos
x(t)=Acos(omega t+varphi)
Em t=0:
x(0)=Acosvarphi=0Longrightarrowcosvarphi=0Longrightarrowvarphi=pi2
A velocidade é
v(t)=-A,omega,sin(omega t+varphi),
então em t=0:
v(0)=-A,omega,sinvarphi =-A,omega,(1) =-0,10 m/s Longrightarrow A=0,10omegaapprox0,106,32approx0,0158 m
Logo:
x(t)=0,0158,cosl(6,32,t + tfracpi2r) m

Passo 4

Esboço do gráfico de x vs.\ t num período:
  • Eixo horizontal t: de 0 a Tapprox0,99 s.
  • Eixo vertical x: de -0,0158 m a +0,0158 m.
    A curva é senoidal, passando por
x(0)=0, xl(T/4r)=-0,0158 m(tapprox0,25 s), xl(T/2r)=0(tapprox0,50 s), xl(3T/4r)=+0,0158 m(tapprox0,75 s), x(T)=0(tapprox0,99 s)

Resposta

a) Tapprox0,99 s
b) x(t)=0,0158cosl(6,32,t+tfracpi2r) rm m
c) Gráfico: senoide de amplitude 0,0158 m e período 0,99 s, conforme esboçado acima.

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