(2,5) Um corpo de 2000 kg . preso a uma mola com constante de força k=3158 N / m, constitui um oscilador fracamente amortecido. No instante inicial o corpo é deslocado de 1,000 m da origem e solto. O sistema perde 15,0 % de sua energia a cada ciclo.
a) (1,0) Calcule o fator de qualidade Q e o fator de amortecimento gamma.
b) (1,0) Calcule a energia perdida em 10 ciclos.
c) (0,5) Em quantos ciclos o oscilador perde 90 % da energia inicial?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola amortecido fraco, com massa m=2000:kg e constante elástica k=3158:N/m. A amplitude inicial é A=1,000:m e a cada ciclo o sistema perde 15,0% da energia. Precisamos calcular:
  • (a) o fator de qualidade Q e o coeficiente de amortecimento gamma;
  • (b) a energia perdida em 10 ciclos;
  • (c) em quantos ciclos o oscilador perde 90% da energia inicial.

Passo 2

Primeiro encontramos a frequência angular não amortecida
omega0 = raizkm = raiz31582000approx1,2566:rad/s,
e o período associado
T = 2piomega0approx2pi1,2566approx5,00:s

Passo 3

Num oscilador fracamente amortecido a energia decai segundo
E(t+T)=E(t),e^-2gamma T
Como se perde 15% por ciclo, E(t+T)/E(t)=0,85. Logo
e^-2gamma T=0,85 Longrightarrow 2gamma T = -ln(0,85) Longrightarrow gamma = -12Tln(0,85)approx0,01625:s^-1
O fator de qualidade é definido por
Q = omega02gamma approx1,25662cdot0,01625approx38,7

Passo 4

A energia inicial é
E0 = tfrac12,k,A^2 = tfrac12cdot3158cdot1^2 =1579:J
Após 10 ciclos, t=10T, a energia é
E10 = E0,e^-2gamma,(10T) =1579,e^-2cdot0,01625cdot50 =1579,e^-1,625approx312:J
Portanto a energia perdida em 10 ciclos é
De<a E10 = E0 - E10approx1579 -312 =1267:J

Passo 5

Queremos En/E0=0,10, ou
e^-2gamma,(nT)=0,10 Longrightarrow n = -ln(0,10)2gamma,T = 2,30262cdot0,01625cdot5 approx14,2 ciclos

Resposta

a) Qapprox38,7, gammaapprox0,0163:s^-1.
b) Energia perdida em 10 ciclos De<a E10approx1,27times10^3:J.
c) Cerca de 14,2 ciclos (aproximadamente 14 ciclos) para perder 90% da energia inicial.

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