Um pêndulo físico é formado por uma barra de tamanho Le massa . Quando a barra é ligeiramente deslocada da posição de equilibrio e solta, executa uma pequena oscilaçảo em torno da posição de equilibrio.
a) (1,0) Encontre o torque restaurador, quando a barra é levemente deslocada de sua posição de equilibrio.
b) Prove que o sistema apresenta MHS e calcule a frequência angular da oscilaçāo .
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra uniforme de massa e comprimento , presa por uma das extremidades e deslocada de um ângulo pequeno em relação à vertical. O conteúdo envolve torque restaurador, momento de inércia de um bastão em relação a um ponto afastado do centro de massa (teorema dos eixos paralelos) e movimento harmônico simples (MHS).
Passo 2
Para encontrar o torque restaurador, tomamos como referência o pivô na extremidade superior e a força peso atuando no centro de massa, a uma distância . O torque em módulo é
e, como ele tende a reduzir theta, vem com sinal restaurador:
tau = -,m g,L2,sin(theta)
Passo 3
A equação de movimento rotacional é
I,ddottheta = tau = -m g,L2,sin(theta)
Para pequenas oscilações usamos sin(theta)approxtheta, obtendo
I,ddottheta + m g,L2,theta = 0,
que é a forma canônica de MHS:
ddottheta + omega^2,theta = 0
Passo 4
Aplicamos o teorema dos eixos paralelos: o momento de inércia em relação ao pivô é
I = ICM + ml(tfracL2r)^2 = mL^212 + mL^24 = mL^23
Logo, comparando
I,ddottheta + m g,L2,theta = 0 Longrightarrow omega^2 = m g,(L/2)I = m g,(L/2)mL^2/3 = 3g2L,
de onde
omega = raiz3g2L
Resposta
a) tau = -,m g,tfracL2,sin(theta)
b) O sistema satisfaz MHS, com omega = raiztfrac3g2L.