(2,5) Um pêndulo físico é formado por uma barra de tamanho Le massa m. Quando a barra é ligeiramente deslocada da posição de equilibrio e solta, executa uma pequena oscilaçảo em torno da posição de equilibrio.
a) (1,0) Encontre o torque restaurador, quando a barra é levemente deslocada de sua posição de equilibrio.
b) (1,5) Prove que o sistema apresenta MHS e calcule a frequência angular da oscilaçāo omega.
IC M=112 m L^2

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra uniforme de massa m e comprimento L, presa por uma das extremidades e deslocada de um ângulo pequeno theta em relação à vertical. O conteúdo envolve torque restaurador, momento de inércia de um bastão em relação a um ponto afastado do centro de massa (teorema dos eixos paralelos) e movimento harmônico simples (MHS).

Passo 2

Para encontrar o torque restaurador, tomamos como referência o pivô na extremidade superior e a força peso vec F = m g,hat y atuando no centro de massa, a uma distância L/2. O torque em módulo é
tau = l|vec rtimesvec Fr| = m g,L2,sin(theta),
e, como ele tende a reduzir theta, vem com sinal restaurador:
tau = -,m g,L2,sin(theta)

Passo 3

A equação de movimento rotacional é
I,ddottheta = tau = -m g,L2,sin(theta)
Para pequenas oscilações usamos sin(theta)approxtheta, obtendo
I,ddottheta + m g,L2,theta = 0,
que é a forma canônica de MHS:
ddottheta + omega^2,theta = 0

Passo 4

Aplicamos o teorema dos eixos paralelos: o momento de inércia em relação ao pivô é
I = ICM + ml(tfracL2r)^2 = mL^212 + mL^24 = mL^23
Logo, comparando
I,ddottheta + m g,L2,theta = 0 Longrightarrow omega^2 = m g,(L/2)I = m g,(L/2)mL^2/3 = 3g2L,
de onde
omega = raiz3g2L

Resposta

a) tau = -,m g,tfracL2,sin(theta)
b) O sistema satisfaz MHS, com omega = raiztfrac3g2L.

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