Considere um sistema massa-mola com massa m=1 kg, constante da mola k=4 N / m, b em N s / m, uma certa constante de atrito/amortecimento não negativa e F(t) uma força externa. Considere que a posição inicial da massa era a posição de equilibrio e que a massa é solta recebendo uma velocidade inicial de 1 m / s.
Considere b=1 e F(t)=cos (2 t) determine a posição da massa em qualquer instante.

Passo 1

O enunciado pede a posição x(t) de um sistema massa-mola amortecido sujeito à força externa F(t)=cos(2t). Temos massa m=1, coeficiente de amortecimento b=1 e constante elástica k=4. As condições iniciais são
,x(0)=0 (posição de equilíbrio) e ,x'(0)=1.
Para resolver, usamos que a solução geral de
x''+b,x'+k,x = F(t)
é a soma da solução da homogênea (\emph{transiente}) e de uma \emph{particular} (regime forçado).

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea associada:
x'' + x' + 4x = 0
A equação característica é
r^2 + r + 4 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm iraiz152
Logo, a parte transiente é
xh(t) = e^-t/2l(Acosl(tfracraiz152tr)+Bsinl(tfracraiz152tr)r)

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados, supondo
xp(t) = Ccos(2t) + Dsin(2t)
Calculamos
xp' = -2Csin(2t) + 2Dcos(2t), xp'' = -4Ccos(2t) -4Dsin(2t),
e, somando na EDO,
xp'' + xp' + 4xp = l(-4C +2D +4Cr)cos(2t) + l(-4D -2C +4Dr)sin(2t) = 2Dcos(2t)-2Csin(2t)
Igualando a cos(2t), obtemos
2D = 1, -2C = 0 Longrightarrow C=0,;D=tfrac12
Assim,
xp(t) = tfrac12sin(2t)

Passo 4

A solução geral é
x(t) = xh(t) + xp(t) = e^-t/2l(Acosl(tfracraiz152tr)+Bsinl(tfracraiz152tr)r) + tfrac12sin(2t)
Impondo x(0)=0
A + 0 + 0 = 0 Longrightarrow A=0
Para x'(t) vemos que a derivada de xp em t=0 é
,xp'(0)=cos(0)=1, logo basta anular a parte transitória em t=0 para ter x'(0)=1. Isso leva a
B=0

Resposta

x(t) = tfrac12,sin(2t)

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