Considere um sistema massa-mola com massa m=1 kg, constante da mola k=4 N / m, b em N s / m, uma certa constante de atrito/amortecimento não negativa e F(t) uma força externa. Considere que a posição inicial da massa era a posição de equilibrio e que a massa é solta recebendo uma velocidade inicial de 1 m / s.
Supondo que não há amortecimento ( b=0 ) e que F(t)=0 determine a distância máxima entre a massa e a posição de equilibrio e os instantes em que essa distância será atingida.

Passo 1

Temos um sistema massa-mola sem amortecimento nem força externa. A equação de movimento é
x'' + km,x = 0
com m=1, k=4, posição inicial em x(0)=0 (equilíbrio) e velocidade inicial x'(0)=1. O conteúdo é equação diferencial de movimento harmônico simples; vamos resolver para x(t) e extrair amplitude e instantes de máximo afastamento.

Passo 2

Escrevendo a equação com valores numéricos,
x'' + 4,x = 0
A equação característica é r^2+4=0, com raízes r=pm2i. Portanto a solução geral é
x(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:
,x(0)=0implies Acdot1 + Bcdot0 =0implies A=0
Derivando,
x'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t),
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,x'(0)=1implies 2Bcdot1=1implies B=tfrac12

Passo 4

Substituindo A e B na solução geral,
x(t)=tfrac12sin(2t)
Esse é um movimento harmônico simples de amplitude
Amplitude = tfrac12

Passo 5

O afastamento máximo (em valor absoluto) ocorre quando l|sin(2t)r|=1, ou seja
2t = pi2 + npi, n=0,1,2,dots
isto é
t = (2n+1),pi4, ninN0

Resposta

A distância máxima ao equilíbrio é 1/2 m, atingida nos instantes
t = (2n+1),pi4, n=0,1,2,dots

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