Considere um sistema massa-mola, onde um corpo oscila com frequência angular de 8,0 rad / s. Em t =0, o corpo está em x=4,0 cm com uma velocidade inicial de vx=-25 cm / s.
Escreva a equação de x como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema massa-mola que está oscilando com uma frequência angular de 8,0 , rad/s. No instante inicial ( t = 0), a posição do corpo é x = 4,0 , cm e a velocidade é vx = -25 , cm/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação que descreve a posição x em função do tempo t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um sistema massa-mola sem atrito, a posição em função do tempo pode ser descrita por uma combinação de funções cosseno e seno. A fórmula geral é:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Onde A e B são constantes que a gente precisa determinar, e omega é a frequência angular, que aqui é 8,0 , rad/s.

Passo 3

Vamos usar a condição inicial de posição para encontrar A. Quando t = 0, o cosseno de zero é 1 e o seno de zero é 0. Então:
x(0) = A cos(0) + B sin(0) Rightarrow 4,0 = A times 1 + B times 0 Rightarrow A = 4,0 , cm

Passo 4

Agora, precisamos encontrar B usando a condição inicial de velocidade. Para isso, vamos derivar a equação de x(t) em relação ao tempo para obter a velocidade v(t):
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
No tempo t = 0, temos:
v(0) = -A omega sin(0) + B omega cos(0) Rightarrow -25 = -4,0 times 8 times 0 + B times 8 times 1 Rightarrow B = -258

Passo 5

Agora que temos os valores de A e B, é só substituir na equação geral:
x(t) = 4,0 cos(8,0 , t) + (-258) sin(8,0 , t)
Simplificando um pouco, fica:
x(t) = 4,0 cos(8t) - 258 sin(8t) , cm

Resposta

A equação que descreve a posição em função do tempo é:
x(t) = 4,0 cos(8t) - 258 sin(8t) , cm

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