Considere um sistema mecânica descrito pela seguinte Lagrangiana
L=m2 e^lambda t(dotq^2-omega^2 q^2), lambda, omega constantes
Obtenha as equações de Euler-Lagrange.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que a gente tem uma Lagrangiana
L=m2e^lambda tl(dot q^2-omega^2q^2r)
com lambda,omega constantes, e pede pra gente achar as equações de Euler–Lagrange.
Conteúdo: Mecânica analítica, mais especificamente a equação de Euler–Lagrange para coordenada única q(t).
O que vamos precisar:
- Saber o que é derivada parcial de L em relação a q e a dot q.
- Saber fazer d/dt da parte que veio de partial L/partial dot q.
- Aplicar a fórmula ddtl(partial Lpartialdot qr)-partial Lpartial q=0

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais pedidas na fórmula:
  1. partial Lpartial q
  2. partial Lpartial dot q
Depois a gente faz ddtl(partial L/partialdot qr) e junta tudo.

Passo 3

Calcular partial Lpartial q:
Lembra que dentro de L tem -m2e^lambda t,omega^2q^2.
  • Tirando a derivada parcial em relação a q (tratando dot q e t como constantes), fica
partial Lpartial q =partialpartial ql[-m2e^lambda tomega^2q^2r] =-m2e^lambda tomega^2cdot 2q =-m,omega^2,q,e^lambda t

Passo 4

Calcular partial Lpartial dot q:
O único lugar que tem dot q é m2e^lambda tdot q^2.
  • Derivando em relação a dot q, vem
partial Lpartial dot q =partialpartial dot ql[m2e^lambda tdot q^2r] =m2e^lambda tcdot 2dot q =m,dot q,e^lambda t
Agora precisamos de $$\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Bigr)
=\frac{d}{dt}\bigl(m,\dot q,e^{\lambda t}\bigr). ddtl(partial Lpartial dot qr) =ddtl(m,dot q,e^lambda tr)é
\frac{d}{dt}(m,\dot q,e^{\lambda t})
=m\Bigl(\ddot q,e^{\lambda t}+\dot q,\lambda e^{\lambda t}\Bigr)
=m,e^{\lambda t}\bigl(\ddot q+\lambda\dot q\bigr).
$$

Passo 5

Agora é só montar a equação de Euler–Lagrange:
ddtl(partial Lpartial dot qr) -partial Lpartial q=0
Substituindo o que achamos:
m,e^lambda t(ddot q+lambdadot q) -l[-m,omega^2,q,e^lambda tr]=0
Isso dá
m,e^lambda tl(ddot q+lambdadot q+omega^2qr)=0
Como mneq0 e e^lambda tneq0, podemos dividir ambos os lados por eles.

Resposta

A equação de movimento (Euler–Lagrange) é
boxedddot q+lambda,dot q+omega^2,q=0

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