Considere um sistema mecânica descrito pela seguinte Lagrangiana
Obtenha as equações de Euler-Lagrange.
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que a gente tem uma Lagrangiana
com
Conteúdo: Mecânica analítica, mais especificamente a equação de Euler–Lagrange para coordenada única
O que vamos precisar:
- Saber o que é derivada parcial de
- Saber fazer
- Aplicar a fórmula
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais pedidas na fórmula:
Depois a gente faz
e junta tudo.
Passo 3
Calcular
:
Lembra que dentro de tem
.
Lembra que dentro de
- Tirando a derivada parcial em relação a
(tratando e como constantes), fica
Passo 4
Calcular
:
O único lugar que tem é
.
O único lugar que tem
- Derivando em relação a
, vem
Agora precisamos de $$\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Bigr)
=\frac{d}{dt}\bigl(m,\dot q,e^{\lambda t}\bigr).
\frac{d}{dt}(m,\dot q,e^{\lambda t})
=m\Bigl(\ddot q,e^{\lambda t}+\dot q,\lambda e^{\lambda t}\Bigr)
=m,e^{\lambda t}\bigl(\ddot q+\lambda\dot q\bigr).
=m\Bigl(\ddot q,e^{\lambda t}+\dot q,\lambda e^{\lambda t}\Bigr)
=m,e^{\lambda t}\bigl(\ddot q+\lambda\dot q\bigr).
$$
Passo 5
Agora é só montar a equação de Euler–Lagrange:
Substituindo o que achamos:
Isso dá
Como
e
, podemos dividir ambos os lados por eles.
Resposta
A equação de movimento (Euler–Lagrange) é