Um pêndulo elástico consiste numa massa
capaz de oscilar num plano vertical suspensa por uma mola de constante elástica
e comprimento natural
. Obtenha a Lagrangiana e as equações de Lagrange.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente modelar um pêndulo elástico: uma massa
que pode oscilar num plano vertical presa a uma mola de constante
e comprimento natural
.
Conteúdo: mecânica lagrangiana.
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica lagrangiana.
O que vamos precisar:
- escolher coordenadas generalizadas;
- escrever energia cinética
e potencial ; - montar a Lagrangiana
; - aplicar as equações de Euler–Lagrange para achar as equações de movimento.
Passo 2
Definindo coordenadas:
– : distância da massa ao ponto fixo da mola (comprimento instantâneo da mola).
– : ângulo que a mola faz com a vertical.
Em coordenadas polares, a posição da massa é
–
–
Em coordenadas polares, a posição da massa é
Aí a gente pode calcular velocidades e energias em função de
.
Passo 3
Energia cinética
:
- Em coordenadas polares,
- Somando
dá a forma clássica
Então
Passo 4
Energia potencial
tem dois termos:
- mola esticada:
. - gravidade (escolhendo
no ponto fixo):
Logo
Passo 5
Lagrangiana
:
Passo 6
Agora as equações de Euler–Lagrange:
- Para
:
[
\frac{d}{dt}!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot r}\Bigr)
\frac{\partial L}{\partial r}
=0
;\Longrightarrow;
m\ddot r - m,r,\dot\theta^2 + k(r - l) - m g\cos\theta = 0.
]
2) Para
:
[
\frac{d}{dt}!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\Bigr)
\frac{\partial L}{\partial \theta}
=0
;\Longrightarrow;
m,r^2\ddot\theta + 2m,r,\dot r,\dot\theta + m g,r\sin\theta = 0.
]
=0
;\Longrightarrow;
m,r^2\ddot\theta + 2m,r,\dot r,\dot\theta + m g,r\sin\theta = 0.
]
Resposta
Lagrangiana:
Equações de Lagrange: