Um pêndulo elástico consiste numa massa m capaz de oscilar num plano vertical suspensa por uma mola de constante elástica k e comprimento natural l. Obtenha a Lagrangiana e as equações de Lagrange.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente modelar um pêndulo elástico: uma massa que pode oscilar num plano vertical presa a uma mola de constante e comprimento natural .
Conteúdo: mecânica lagrangiana.
O que vamos precisar:
  1. escolher coordenadas generalizadas;
  2. escrever energia cinética e potencial ;
  3. montar a Lagrangiana ;
  4. aplicar as equações de Euler–Lagrange para achar as equações de movimento.

Passo 2

Definindo coordenadas:
x = rsintheta, y = -,rcostheta : distância da massa ao ponto fixo da mola (comprimento instantâneo da mola).
: ângulo que a mola faz com a vertical.
Em coordenadas polares, a posição da massa é
Aí a gente pode calcular velocidades e energias em função de .

Passo 3

Energia cinética vx = dot rsintheta + rdotthetacostheta, vy = -dot rcostheta + rdotthetasintheta :
  • Em coordenadas polares,
v^2 = dot r^2 + r^2dottheta^2
  • Somando T = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2dottheta^2r) dá a forma clássica
Então

Passo 4

Energia potencial Vg = m,g,y = -m g,rcostheta tem dois termos:
  1. mola esticada: V = tfrac12,k,(r - l)^2 ;-; m g,rcostheta .
  2. gravidade (escolhendo no ponto fixo):
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Passo 5

Lagrangiana L = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2dottheta^2r) ;-;l[tfrac12,k,(r - l)^2 - m g,rcosthetar] :

Passo 6

Agora as equações de Euler–Lagrange:
  1. Para ddt!l(partial Lpartialdot rr) - partial Lpartial r =0 ;Longrightarrow; mddot r - m,r,dottheta^2 + k(r - l) - m gcostheta = 0 :

[
\frac{d}{dt}!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot r}\Bigr)

\frac{\partial L}{\partial r}
=0
;\Longrightarrow;
m\ddot r - m,r,\dot\theta^2 + k(r - l) - m g\cos\theta = 0.
]
2) Para ddt!l(partial Lpartialdotthetar) - partial Lpartial theta =0 ;Longrightarrow; m,r^2ddottheta + 2m,r,dot r,dottheta + m g,rsintheta = 0 :
[
\frac{d}{dt}!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\Bigr)

\frac{\partial L}{\partial \theta}
=0
;\Longrightarrow;
m,r^2\ddot\theta + 2m,r,\dot r,\dot\theta + m g,r\sin\theta = 0.
]

Resposta

Lagrangiana:
L = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2dottheta^2r) ;-;l[tfrac12,k,(r - l)^2 - m g,rcosthetar]
Equações de Lagrange:
boxed% mddot r - m,r,dottheta^2 + k(r - l) - m gcostheta = 0, m,r^2ddottheta + 2m,r,dot r,dottheta + m g,rsintheta = 0

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