Um sistema com dois graus de liberdade é descrito pela seguinte Lagrangiana:
L=m2(dotx^2+doty^2)-lambdax^2+y^2, m, lambda constantes
Prove que a ação é invariante sob a transformação infinitesimal,
x x^prime=x+epsilon y, y y^prime=y-epsilon x

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é: temos uma Lagrangiana
L = m2(dot x^2 + dot y^2) ;-;lambdax^2 + y^2
e precisamos mostrar que, se a gente faz uma “rodadinha” infinitesimal no plano
xto x' = x + epsilon,y,, yto y' = y - epsilon,x,,
o valor do ação
S = integral L,dt
não muda.
Isso cai em teorema de Noether: invariância de L leva a conservação de algo (aqui, o momento angular), mas por enquanto vamos só provar que o L não varia (ou varia só por derivada total).
Para resolver precisamos:
- Saber como transformar coordenadas e velocidades infinitesimalmente.
- Fazer expansão em série de Taylor até primeira ordem em ε.
- Mostrar que a mudança em L é zero (ou total derivative).

Passo 2

Primeiro, vamos achar como ficam as velocidades. Se
x' = x + epsilon,y, y' = y - epsilon,x,
derivando em t:
dot x' = dot x + epsilon,dot y, dot y' = dot y - epsilon,dot x

Passo 3

Agora a gente expande cada parte de L até ordem ε.
  1. No termo cinético:
    \dot x’^2 + \dot y’^2 = (\dot x +\epsilon,\dot y)^2 + (\dot y -\epsilon,\dot x)^2
    = \dot x^2 +2\epsilon,\dot x,\dot y + \epsilon^2\dot y^2 + \dot y^2 -2\epsilon,\dot x,\dot y + \epsilon^2\dot x^2
    = \dot x^2 +\dot y^2 + \mathcal O(\epsilon^2).
    Logo, a primeira-ordem em ε cancela!
  2. No potencial:
    x’^2 + y’^2 = (x+\epsilon y)^2 + (y -\epsilon x)^2
    = x^2 +2\epsilon,x y + \epsilon2y2 + y^2 -2\epsilon,x y + \epsilon2x2
    = x^2 + y^2 + \mathcal O(\epsilon^2).
Portanto também não muda, até primeira ordem:
1x'^2+y'^2 = 1x^2+y^2 + O(epsilon^2)

Passo 4

Juntando:
L(x',y',dot x',dot y') = m2(dot x'^2 + dot y'^2) ;-;lambdax'^2+y'^2 = m2(dot x^2+dot y^2) - lambdax^2+y^2 + O(epsilon^2) = L(x,y,dot x,dot y) + O(epsilon^2)
Como a mudança em L é só de ordem ε², ao pegar só até ε (primeira ordem) temos δL=0. Aí a ação
S = integral L,dt
fica igual, porque δS = ∫δL dt = 0.

Resposta

A Lagrangiana é invariante (até primeira ordem em ε) sob a transformação dada, logo a ação não muda.

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