Um sistema com dois graus de liberdade é descrito pela seguinte Lagrangiana:
Prove que a ação é invariante sob a transformação infinitesimal,
Passo 1
Beleza, então o que a questão pede é: temos uma Lagrangiana
e precisamos mostrar que, se a gente faz uma “rodadinha” infinitesimal no plano
o valor do ação
não muda.
Isso cai em teorema de Noether: invariância de L leva a conservação de algo (aqui, o momento angular), mas por enquanto vamos só provar que o L não varia (ou varia só por derivada total).
Para resolver precisamos:
- Saber como transformar coordenadas e velocidades infinitesimalmente.
- Fazer expansão em série de Taylor até primeira ordem em ε.
- Mostrar que a mudança em L é zero (ou total derivative).
Passo 2
Primeiro, vamos achar como ficam as velocidades. Se
derivando em t:
Passo 3
Agora a gente expande cada parte de L até ordem ε.
-
No termo cinético:
\dot x’^2 + \dot y’^2 = (\dot x +\epsilon,\dot y)^2 + (\dot y -\epsilon,\dot x)^2
= \dot x^2 +2\epsilon,\dot x,\dot y + \epsilon^2\dot y^2 + \dot y^2 -2\epsilon,\dot x,\dot y + \epsilon^2\dot x^2
= \dot x^2 +\dot y^2 + \mathcal O(\epsilon^2).
Logo, a primeira-ordem em ε cancela! -
No potencial:
x’^2 + y’^2 = (x+\epsilon y)^2 + (y -\epsilon x)^2
= x^2 +2\epsilon,x y + \epsilon2y2 + y^2 -2\epsilon,x y + \epsilon2x2
= x^2 + y^2 + \mathcal O(\epsilon^2).
Portanto também não muda, até primeira ordem:
Passo 4
Juntando:
Como a mudança em L é só de ordem ε², ao pegar só até ε (primeira ordem) temos δL=0. Aí a ação
fica igual, porque δS = ∫δL dt = 0.
Resposta
A Lagrangiana é invariante (até primeira ordem em ε) sob a transformação dada, logo a ação não muda.