Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
l x1^prime=x1-x2+e^-2 t x2^prime=-5 x1-3 x2-3 e^-2 t
(a) Encontre os autovalores e autovetores da matriz A associada ao sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de equações diferenciais! O enunciado nos dá um sistema não homogêneo de equações lineares e pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada a esse sistema. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes, autovalores e autovetores. Basicamente, os autovalores são números que indicam o quanto um vetor (autovetor) é alongado ou encolhido quando multiplicado pela matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz l x1^prime=x1-x2+e^-2 t x2^prime=-5 x1-3 x2-3 e^-2 t associada ao sistema dado. Olhando para as equações:
A = 1 & -1 -5 & -3
A matriz é composta pelos coeficientes de e nas equações homogêneas (sem os termos que dependem de ):

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores det(A - lambda I) = 0 da matriz A - lambda I = 1 - lambda & -1 -5 & -3 - lambda , precisamos resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de mesma dimensão que . Vamos calcular :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-3 - lambda) - (-1)(-5)
Vamos desenvolver isso passo a passo:
(1 - lambda)(-3 - lambda) = -3(1) - lambda(1) + 3lambda + lambda^2 = -3 - lambda + 3lambda + lambda^2 = lambda^2 + 2lambda - 3
E:
(-1)(-5) = 5
Então, o determinante fica:
lambda^2 + 2lambda - 3 - 5 = lambda^2 + 2lambda - 8
Portanto, a equação característica é:
lambda^2 + 2lambda - 8 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(-8)2(1) = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Onde lambda1 = -2 + 62 = 2 e lambda2 = -2 - 62 = -4 , , e . Substituindo:
Assim, temos dois autovalores:

Passo 6

Agora que temos os autovalores A - 2I = 1 - 2 & -1 -5 & -3 - 2 = -1 & -1 -5 & -5 e -1 cdot v1 -1 cdot v2 = 0 -5 cdot v1 -5 cdot v2 = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada autovalor - v1 - v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2 , resolvemos v^(1) = -1 1 , onde A - (-4)I = A + 4I = 1 + 4 & -1 -5 & -3 + 4 = 5 & -1 -5 & 1 é o autovetor.
Para 5 cdot v1 -1 cdot v2 = 0 -5 cdot v1 +1 cdot v2 = 0 :
5v1 - v2 = 0 Rightarrow v2 = 5v1
Vamos montar o sistema de equações:
v^(2) = 1 5
Essas equações são equivalentes, então podemos usar uma delas para encontrar a relação entre e :
Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor correspondente a é:
Para :
Montando o sistema de equações:
Novamente, as equações são equivalentes. Usando a primeira:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz v^(1) = -1 1 e v^(2) = 1 5 são e , e os respectivos autovetores são:

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