Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
(a) Encontre os autovalores e autovetores da matriz
associada ao sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de equações diferenciais! O enunciado nos dá um sistema não homogêneo de equações lineares e pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada a esse sistema. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes, autovalores e autovetores. Basicamente, os autovalores são números que indicam o quanto um vetor (autovetor) é alongado ou encolhido quando multiplicado pela matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz
associada ao sistema dado. Olhando para as equações:
A matriz
é composta pelos coeficientes de
e
nas equações homogêneas (sem os termos que dependem de
):
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores
da matriz
, precisamos resolver a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade de mesma dimensão que
. Vamos calcular
:
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos desenvolver isso passo a passo:
E:
Então, o determinante fica:
Portanto, a equação característica é:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Assim, temos dois autovalores:
Passo 6
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada autovalor
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Vamos montar o sistema de equações:
Essas equações são equivalentes, então podemos usar uma delas para encontrar a relação entre
e
:
Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Para
:
Montando o sistema de equações:
Novamente, as equações são equivalentes. Usando a primeira:
Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, e os respectivos autovetores são: