Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
l x1^prime=x1-x2+e^-2 t x2^prime=-5 x1-3 x2-3 e^-2 t
© Encontre a solução satisfazendo as condições x1(0)=-1 e x2(0)=2.

Passo 1

Então, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. Estamos lidando com um sistema não homogêneo de equações lineares, ou seja, temos equações que não são iguais a zero por causa dos termos que dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear e considerar tanto a solução geral do sistema homogêneo quanto uma solução particular para o sistema não homogêneo. No final, aplicaremos as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações que temos:
x1^prime = x1 - x2 + e^-2 t x2^prime = -5 x1 - 3 x2 - 3 e^-2 t
Aqui, e são funções de , e os termos e tornam o sistema não homogêneo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado, ou seja, sem os termos independentes:
x1^prime = x1 - x2 x2^prime = -5 x1 - 3 x2
Para resolver esse sistema homogêneo, podemos escrever a matriz dos coeficientes:
A = 1 & -1 -5 & -3

Passo 4

Vamos encontrar os valores próprios ( det( 1 - lambda & -1 -5 & -3 - lambda ) = 0 ) da matriz (1 - lambda)(-3 - lambda) - (-1)(-5) = 0 resolvendo o determinante (-3 - lambda)(1 - lambda) - 5 = 0 :
-3(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) - 5 = 0
Calculando o determinante:
-3 + 3lambda - lambda + lambda^2 - 5 = 0
lambda^2 + 2lambda - 8 = 0
lambda = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
lambda1 = 2 e lambda2 = -4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois valores próprios:

Passo 5

Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios correspondentes a cada -1 & -1 -5 & -5 v1 v2 = 0 0 .
Para -1 1 :
Resolvemos 5 & -1 -5 & 1 v1 v2 = 0 0 :
1 5
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então .

Passo 6

Assim, a solução geral do sistema homogêneo é uma combinação linear das soluções associadas a cada valor próprio:
xh(t) = C1 e^2 t -1 1 + C2 e^-4 t 1 5
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( xp(t) = e^-2 t A B ) para o sistema não homogêneo. Observando os termos não homogêneos e , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Calculando as derivadas da solução particular:
xp^prime(t) = -2 e^-2 t A B
Substituindo -2 A e^-2 t = A e^-2 t - B e^-2 t + e^-2 t -2 B e^-2 t = -5 A e^-2 t - 3 B e^-2 t - 3 e^-2 t e no sistema original:
Simplificando as equações:

Passo 9

Resolvendo a primeira equação:
-2 A = A - B + 1 -3 A + B = 1 [Equação 1] çã
Resolvendo a segunda equação:
-2 B = -5 A - 3 B - 3 B = -5 A - 3 [Equação 2] çã
Substituindo a Equação 2 na Equação 1:
-3 A + (-5 A - 3) = 1 -8 A - 3 = 1 -8 A = 4 A = -12
Substituindo B = -5 (-12) - 3 = 52 - 3 = -12 na Equação 2:

Passo 10

Então, a solução particular é:
xp(t) = e^-2 t -12 -12

Passo 11

Portanto, a solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 e^2 t -1 1 + C2 e^-4 t 1 5 + e^-2 t -12 -12

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais x(0) = C1 e^0 -1 1 + C2 e^0 1 5 + e^0 -12 -12 = -C1 + C2 - 12 C1 + 5 C2 - 12 e -C1 + C2 - 12 = -1 C1 + 5 C2 - 12 = 2 para determinar e .
Primeiro, calculamos :
Igualando às condições iniciais:

Passo 13

Resolvendo o sistema:
  1. (-C1 + C2) + (C1 + 5 C2) = -12 + 52 6 C2 = 2 C2 = 13 çã
  2. -C1 + 13 = -12 -C1 = -12 - 13 = -56 C1 = 56 çã
Somando Equação 3 e Equação 4:
Substituindo na Equação 3:

Passo 14

Finalmente, substituímos x(t) = 56 e^2 t -1 1 + 13 e^-4 t 1 5 + e^-2 t -12 -12 e x1(t) = -56 e^2 t + 13 e^-4 t - 12 e^-2 t x2(t) = 56 e^2 t + 53 e^-4 t - 12 e^-2 t na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do sistema que satisfaz as condições iniciais x1(t) = -56 e^2 t + 13 e^-4 t - 12 e^-2 t x2(t) = 56 e^2 t + 53 e^-4 t - 12 e^-2 t e é:

Exercícios relacionados