Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
© Encontre a solução satisfazendo as condições
e
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. Estamos lidando com um sistema não homogêneo de equações lineares, ou seja, temos equações que não são iguais a zero por causa dos termos que dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear e considerar tanto a solução geral do sistema homogêneo quanto uma solução particular para o sistema não homogêneo. No final, aplicaremos as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações que temos:
Aqui,
e
são funções de
, e os termos
e
tornam o sistema não homogêneo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado, ou seja, sem os termos independentes:
Para resolver esse sistema homogêneo, podemos escrever a matriz dos coeficientes:
Passo 4
Vamos encontrar os valores próprios (
) da matriz
resolvendo o determinante
:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois valores próprios:
Passo 5
Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
, então
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
, então
.
Passo 6
Assim, a solução geral do sistema homogêneo é uma combinação linear das soluções associadas a cada valor próprio:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema não homogêneo. Observando os termos não homogêneos
e
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 8
Calculando as derivadas da solução particular:
Substituindo
e
no sistema original:
Simplificando as equações:
Passo 9
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo a Equação 2 na Equação 1:
Substituindo
na Equação 2:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
Portanto, a solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Primeiro, calculamos
:
Igualando às condições iniciais:
Passo 13
Resolvendo o sistema:
Somando Equação 3 e Equação 4:
Substituindo
na Equação 3:
Passo 14
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do sistema que satisfaz as condições iniciais
e
é: