Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
l x1^prime=x1-x2+e^-2 t x2^prime=-5 x1-3 x2-3 e^-2 t
(b) Usando a matriz P formada pelos autovetores, faça a mudança x=P y e resolva o sistema diagonal y^prime=D y+P^-1 f(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais lineares não homogêneo:
l x1^prime=x1-x2+e^-2 t x2^prime=-5 x1-3 x2-3 e^-2 t
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver esse sistema, vamos precisar encontrar os autovetores da matriz do sistema, formar a matriz com esses autovetores, fazer a mudança de variável e, por fim, resolver o sistema diagonalizado .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
A = 1 & -1 -5 & -3
Nosso objetivo é encontrar os autovetores dessa matriz. Para isso, precisamos encontrar os autovalores det 1 - lambda & -1 -5 & -3 - lambda = 0 resolvendo o determinante (1 - lambda)(-3 - lambda) - (-1)(-5) = 0 (-3 - lambda + 3lambda + lambda^2) - 5 = 0 lambda^2 + 2lambda - 8 = 0 :
lambda = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Calculando o determinante:
lambda1 = 2 e lambda2 = -4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para 1 - 2 & -1 -5 & -3 - 2 v1 v2 = -1 & -1 -5 & -5 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos - v1 - v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2 :

[
v1 = -1 1
1 + 4 & -1 -5 & -3 + 4 v1 v2 = 5 & -1 -5 & 1 v1 v2 = 0 0

5 v1 - v2 = 0 Rightarrow v2 = 5 v1
v2 = 1 5


]
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 4

Com os autovetores encontrados, formamos a matriz P = -1 & 1 1 & 5 :
det(P) = (-1)(5) - (1)(1) = -5 - 1 = -6
Agora, precisamos calcular a matriz inversa P^-1 = 1det(P) 5 & -1 -1 & -1 = 1-6 5 & -1 -1 & -1 = -56 & 16 16 & 16 . Primeiro, calculamos o determinante de :
Então, a inversa de é:

Passo 5

Agora, fazemos a mudança de variável x' = A x + f(t) . Substituindo na equação original do sistema:
P y' = A P y + f(t)
Temos:
y' = P^-1 A P y + P^-1 f(t)
Multiplicando ambos os lados por y' = D y + P^-1 f(t) :
D = 2 & 0 0 & -4
Como e^-2t -3e^-2t , onde P^-1 f(t) = -56 & 16 16 & 16 e^-2t -3e^-2t = -56 e^-2t + 16 (-3e^-2t) 16 e^-2t + 16 (-3e^-2t) = -56 e^-2t - 36 e^-2t 16 e^-2t - 36 e^-2t = -86 e^-2t -26 e^-2t = -43 e^-2t -13 e^-2t é a matriz diagonal dos autovalores, temos:
Neste caso, é:
E , então:

Passo 6

Agora, temos o sistema diagonalizado:
y' = 2 & 0 0 & -4 y + -43 e^-2t -13 e^-2t
Que separa em duas equações diferenciais:
y1' = 2 y1 - 43 e^-2t
y2' = -4 y2 - 13 e^-2t
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para y1' - 2 y1 = -43 e^-2t :
Esta é uma equação linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante. A equação está na forma:
e^-2t y1' - 2 e^-2t y1 = -43 e^-4t
O fator integrante é ddt (e^-2t y1) = -43 e^-4t . Multiplicando ambos os lados:
e^-2t y1 = integral -43 e^-4t dt + C e^-2t y1 = 13 e^-4t + C y1 = 13 e^-2t + C e^2t
Isso simplifica para:
y2' + 4 y2 = -13 e^-2t
Integrando:
e^4t y2' + 4 e^4t y2 = -13 e^2t
Para ddt (e^4t y2) = -13 e^2t :
Semelhante ao e^4t y2 = integral -13 e^2t dt + C e^4t y2 = -16 e^2t + C y2 = -16 e^-2t + C e^-4t , temos:
Fator integrante . Multiplicando:
Simplifica para:
Integrando:

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = P y(t) = -1 & 1 1 & 5 13 e^-2t + C1 e^2t -16 e^-2t + C2 e^-4t = - ( 13 e^-2t + C1 e^2t ) + ( -16 e^-2t + C2 e^-4t ) ( 13 e^-2t + C1 e^2t ) + 5 ( -16 e^-2t + C2 e^-4t )
Simplificando cada componente:
Para x1(t) = -13 e^-2t - C1 e^2t - 16 e^-2t + C2 e^-4t = -12 e^-2t - C1 e^2t + C2 e^-4t :
x2(t) = 13 e^-2t + C1 e^2t - 56 e^-2t + 5 C2 e^-4t = -12 e^-2t + C1 e^2t + 5 C2 e^-4t
Para x1(t) = -12 e^-2t - C1 e^2t + C2 e^-4t x2(t) = -12 e^-2t + C1 e^2t + 5 C2 e^-4t :
Então, a solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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