Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
(b) Usando a matriz
formada pelos autovetores, faça a mudança
e resolva o sistema diagonal
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais lineares não homogêneo:
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver esse sistema, vamos precisar encontrar os autovetores da matriz do sistema, formar a matriz
com esses autovetores, fazer a mudança de variável
e, por fim, resolver o sistema diagonalizado
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Nosso objetivo é encontrar os autovetores dessa matriz. Para isso, precisamos encontrar os autovalores
resolvendo o determinante
:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 4
Com os autovetores encontrados, formamos a matriz
:
Agora, precisamos calcular a matriz inversa
. Primeiro, calculamos o determinante de
:
Então, a inversa de
é:
Passo 5
Agora, fazemos a mudança de variável
. Substituindo na equação original do sistema:
Temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
, onde
é a matriz diagonal dos autovalores, temos:
Neste caso,
é:
E
, então:
Passo 6
Agora, temos o sistema diagonalizado:
Que separa em duas equações diferenciais:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para
:
Esta é uma equação linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados:
Isso simplifica para:
Integrando:
Para
:
Semelhante ao
, temos:
Fator integrante
. Multiplicando:
Simplifica para:
Integrando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Simplificando cada componente:
Para
:
Para
:
Então, a solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.